Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2021

Una lente esférica delgada, de distancia focal desconocida, se sitúa entre un objeto y una pantalla, formando sobre la pantalla una imagen real, invertida y de triple tamaño que el objeto. Sabiendo que la distancia entre el objeto y la pantalla es de 8 metros:

a) Determine la distancia focal de la lente y la distancia del objeto a la lente. [1 punto]

b) Indique el tipo de lente utilizada y realice el trazado de rayos correspondiente. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se emplea el criterio DIN de signos: la luz viaja de izquierda a derecha, el objeto está a la izquierda de la lente, $s<0$, y la imagen se recoge sobre la pantalla, a la derecha, $s^{\mathrm{\prime }}>0$.

Que la imagen sea real, invertida y de triple tamaño fija el aumento lateral:

$\beta =\frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}=-3\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-3s$

La distancia entre el objeto y la pantalla es la suma de las dos distancias, o lo que es lo mismo, la diferencia de abscisas:

$s^{\mathrm{\prime }}-s=8\Rightarrow -3s-s=8\Rightarrow -4s=8$

$s=-2\text{ m}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-3\cdot (-2)=6\text{ m}$

Y con la ecuación fundamental de las lentes delgadas se obtiene la distancia focal:

$\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}=\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{6}-\frac{1}{-2}=\frac{1+3}{6}=\frac{2}{3}$

$f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,5}\text{ m}$

El objeto está a $2\text{ m}$ de la lente, la imagen a $6\text{ m}$ al otro lado y la distancia focal de la lente es de $\mathrm{1,5}\text{ m}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{utilizada}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La distancia focal imagen es positiva, $f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,5}\text{ m}>0$, así que la lente es convergente. Tenía que serlo: solo una lente convergente forma imágenes reales de objetos reales, y solo ellas pueden recogerse sobre una pantalla.

Además el objeto está entre $f$ y $2f$ —a $2\text{ m}$, con $f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,5}\text{ m}$—, que es justamente el intervalo en el que la imagen sale real, invertida y mayor que el objeto.

Se trazan desde la punta del objeto los tres rayos principales:

i) El rayo paralelo al eje óptico, que tras refractarse pasa por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$.

ii) El rayo que pasa por el centro óptico $O$, que no se desvía.

iii) El rayo que pasa por el foco objeto $F$, que emerge paralelo al eje óptico.