Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2020

Colocamos entre agua y aire un material de caras planas y paralelas que tiene un espesor de 5 cm y un índice de refracción desconocido. Incidimos desde el aire con un rayo de luz monocromática de 520 nm y un ángulo de incidencia de ${60}^{\circ }$ en el material.

a) Realice el trazado de rayos y determine el ángulo que forma el rayo con la superficie de separación entre el material y el agua. [1,5 puntos]

b) La longitud de onda del rayo en el material y en el agua. [0,5 puntos]

c) El índice de refracción del material si con un ángulo de incidencia de ${80}^{\circ }$ del rayo desde el agua sobre el material se produce reflexión total interna en el agua. [0,5 puntos]

Datos: $n_{\text{agua}}=\mathrm{1,33}$; $n_{\text{aire}}=1$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{separaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El rayo atraviesa dos superficies planas y paralelas: primero la cara superior, aire-material, y después la inferior, material-agua. En cada una se aplica la ley de Snell:

$n_{\text{aire}}\text{sen}{60}^{\circ }=n_m\text{sen}{\widehat{r}}_m$

$n_m\text{sen}{\widehat{r}}_m=n_{\text{agua}}\text{sen}\widehat{r}$





Al encadenar las dos expresiones, el índice del material se cancela y queda:

$n_{\text{aire}}\text{sen}{60}^{\circ }=n_{\text{agua}}\text{sen}\widehat{r}$

Es decir, el ángulo con el que el rayo entra en el agua no depende del material intermedio, que solo desplaza el rayo lateralmente. Sustituyendo:

$\text{sen}\widehat{r}=\frac{1\cdot \mathrm{0,866}}{\mathrm{1,33}}=\mathrm{0,651}\Rightarrow \widehat{r}={\mathrm{40,63}}^{\circ }$

Ese es el ángulo que forma el rayo con la normal. El que forma con la propia superficie de separación es su complementario:

$\widehat{\alpha }={90}^{\circ }-{\mathrm{40,63}}^{\circ }$

$\widehat{\alpha }={\mathrm{49,37}}^{\circ }$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al cambiar de medio la frecuencia no varía, pero sí la velocidad de propagación y con ella la longitud de onda:

$v=\frac{c}{n}\lambda =\frac{v}{f}=\frac{{\lambda }_0}{n}$

Con el índice del material que se obtiene en el apartado c), $n_m=\mathrm{1,31}$:

${\lambda }_m=\frac{520}{\mathrm{1,31}}=397\text{ nm}=\mathrm{3,97}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

${\lambda }_{\text{agua}}=\frac{520}{\mathrm{1,33}}=391\text{ nm}=\mathrm{3,91}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

La longitud de onda se acorta en los dos medios respecto de los $520\text{ nm}$ que tenía en el aire, y algo más en el agua que en el material por ser aquella ligeramente más refringente.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">80</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{interna}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La reflexión total solo se produce al pasar de un medio más refringente a otro menos refringente, de modo que en este caso el agua tiene que ser más refringente que el material, $n_{\text{agua}}>n_m$.

El ángulo límite es aquel al que corresponde un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$:

$n_{\text{agua}}\text{sen}{80}^{\circ }=n_m\text{sen}{90}^{\circ }$

$n_m=\mathrm{1,33}\cdot \text{sen}{80}^{\circ }=\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,985}$

$n_m=\mathrm{1,31}$

El índice de refracción del material es $\mathrm{1,31}$, en efecto menor que el del agua, como exigía la existencia de reflexión total.