Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2021

Se denominan ultrasonidos a las frecuencias por encima del rango auditivo en los humanos (20 kHz). Ondas sonoras por encima de esa frecuencia se utilizan para penetrar el cuerpo humano y producir imágenes por reflexión en las diferentes superficies. En un barrido de ultrasonidos típico las ondas sonoras viajan a una velocidad de $1500\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$ y para una imagen detallada la longitud de onda no debe ser superior a 1 mm.

a) ¿Qué frecuencia es necesaria? [1 punto]

Si el rango de frecuencias audibles es 20 Hz a 20 kHz:

b) ¿A qué rango de longitudes de onda corresponde en el aire en condiciones normales? [1 punto]

Dato: $v_{\text{aire}}=340\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesaria?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para cualquier onda armónica la velocidad de propagación, la longitud de onda y la frecuencia están relacionadas por:

$v=\lambda f\Rightarrow f=\frac{v}{\lambda }$

El enunciado exige que la longitud de onda no supere $1\text{ mm}$, y como la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, esa condición fija una frecuencia mínima:

$f\ge \frac{1500}{{10}^{-3}}$

$f\ge \mathrm{1,5}\cdot {10}^6\text{ Hz}=\mathrm{1,5}\text{ MHz}$

Hace falta una frecuencia de al menos $\mathrm{1,5}\text{ MHz}$, muy por encima del límite audible de $20\text{ kHz}$: se trata, en efecto, de ultrasonidos.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{condiciones}}\mathbf{\text{normales?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica la misma relación, ahora con la velocidad del sonido en el aire y despejando la longitud de onda:

$\lambda =\frac{v_{\text{aire}}}{f}$

A la frecuencia más baja del rango audible corresponde la longitud de onda más larga:

${\lambda }_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\frac{340}{20}=17\text{ m}$

Y a la más alta, la más corta:

${\lambda }_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}=\frac{340}{20000}=\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-2}\text{ m}=\mathrm{1,7}\text{ cm}$

El rango audible corresponde en el aire a longitudes de onda comprendidas entre $\mathrm{1,7}\text{ cm}$ y $17\text{ m}$: tres órdenes de magnitud, la misma amplitud que la del rango de frecuencias.