Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2022

Un excursionista escucha el aullido de un lobo que se encuentra a una distancia de 100 m con una sonoridad de 50 dB.

a) Si el excursionista se aleja del lobo a una distancia de 200 m, ¿cuál será ahora el nivel de intensidad sonora con el que percibe el aullido de ese lobo? [1 punto]

b) Suponiendo que los 4 lobos de una manada aúllan todos a la vez, y que cada uno lo hace con la misma potencia, ¿a qué distancia del excursionista se encontrará la manada de lobos si la sonoridad que percibe este es de 60 dB? [1 punto]

Dato: $I_0={10}^{-12}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{excursionista}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{aleja}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{lobo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{m,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{percibe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aullido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{lobo?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El lobo se comporta como un foco puntual, así que la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}\Rightarrow \frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2={\left(\frac{100}{200}\right)}^2=\frac{1}{4}$

Y la diferencia de niveles sonoros solo depende de ese cociente.





${\beta }_2-{\beta }_1=10\log \frac{I_2}{I_1}=10\log \frac{1}{4}=-\mathrm{6,02}\text{ dB}$

${\beta }_2=50-\mathrm{6,02}$

${\beta }_2=\mathrm{43,98}\text{ dB}$

Al doblar la distancia el nivel sonoro baja $6\text{ dB}$, hasta $\mathrm{43,98}\text{ dB}$: la intensidad se reduce a la cuarta parte, pero la escala logarítmica amortigua mucho ese descenso.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{lobos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{manada}}\mathbf{\text{a}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{llan}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vez,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{potencia,}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{excursionista}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encontrar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{manada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lobos}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonoridad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{percibe}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{dB?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Primero se calcula la potencia con la que aúlla un lobo, a partir del dato inicial:

$I_1=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^5={10}^{-7}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$

$P=I_1\cdot 4\pi r_1^2={10}^{-7}\cdot 4\pi \cdot {100}^2=\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-2}\text{ W}$

Con los cuatro lobos juntos y aullando a la vez, lo que se suma son las intensidades:

$I_{\text{total}}=\frac{4P}{4\pi d^2}$

La sonoridad percibida es de $60\text{ dB}$:

$I_{\text{total}}={10}^{-12}\cdot {10}^6={10}^{-6}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$

Despejando la distancia:

$d=\sqrt{\frac{4P}{4\pi I_{\text{total}}}}=\sqrt{\frac{4\cdot \mathrm{1,26}\cdot {10}^{-2}}{4\pi \cdot {10}^{-6}}}$

$d=\mathrm{63,2}\text{ m}$

La manada está a $\mathrm{63,2}\text{ m}$ del excursionista.