Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2020

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Discuta el rango de $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) ¿Qué dimensiones ha de tener la matriz $X$ para que sea posible la ecuación $A \cdot X = B$? [0,5 puntos]

c) Calcule la matriz $X$ del apartado anterior para $m = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{m\in\mathbb{R}}\textbf{. [1 punto]}$

El rango de una matriz cuadrada de orden 3 vale 3 mientras su determinante no se anule, así que lo calculamos primero desarrollando por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{vmatrix}=m\begin{vmatrix} m & 2 \\ m & 3 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & m \end{vmatrix}$

$=m(3m-2m)-1(3-2)+3(m-m)=m^{2}-1$

$|A|=0 \Rightarrow m^{2}=1 \Rightarrow \begin{cases} m=1 \\ m=-1 \end{cases}$

Si $m\neq\pm1$, el determinante no se anula:

$\operatorname{rg}(A)=3$

Si $m=1$ o $m=-1$, el determinante vale cero, pero en los dos casos queda un menor de orden 2 no nulo, el de las dos últimas filas y las columnas segunda y tercera:

$\begin{vmatrix} m & 2 \\ m & 3 \end{vmatrix}=3m-2m=m\neq0 \quad \text{para } m=\pm1$

$\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 salvo para $m=1$ y $m=-1$, donde vale 2.

$\textbf{b) ¿Qué dimensiones ha de tener la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ para que sea posible la ecuación } \boldsymbol{A\cdot X=B}\textbf{? [0,5 puntos]}$

Anotamos las dimensiones conocidas y llamamos $p\times q$ a las de la incógnita.

$A_{3\times3}\cdot X_{p\times q}=B_{3\times2}$

Para que el producto se pueda hacer, las columnas de $A$ han de coincidir con las filas de $X$:

$p=3 \Rightarrow (A\cdot X)_{3\times q}$

Y para que el resultado sea $B$:

$q=2$

La matriz $X$ ha de ser de dimensión $3\times2$.

$\textbf{c) Calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ del apartado anterior para } \boldsymbol{m=0}\textbf{. [1 punto]}$

Para $m=0$ el determinante vale $-1$, así que $A$ es regular y podemos despejar multiplicando por su inversa por la izquierda.

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad |A|=0^{2}-1=-1\neq0$

$A\cdot X=B \Rightarrow A^{-1}A\cdot X=A^{-1}B \Rightarrow X=A^{-1}B$

Calculamos la inversa con la adjunta de la traspuesta.

$A^{t}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot X=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=B$