Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2021

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcule:

a) Si existe, su inversa. [1 punto]

b) La matriz $X$ cuadrada de orden 3 que verifica $(X + A)^2 - X^2 - X \cdot A = I_3$, siendo $I_3$ la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Si existe, su inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, así que lo calculamos primero, desarrollando por la tercera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=1\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$

$=1(4-2)+1(1-4)=2-3=-1\neq0$

Existe la inversa. La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{t})=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) La matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ cuadrada de orden 3 que verifica } \boldsymbol{(X+A)^{2}-X^{2}-X\cdot A=I_{3}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Conviene desarrollar primero el cuadrado teniendo cuidado con el orden de los factores, porque el producto de matrices no es conmutativo y $XA$ no tiene por qué coincidir con $AX$.

$(X+A)^{2}=(X+A)(X+A)=X^{2}+XA+AX+A^{2}$

Sustituimos en la ecuación y simplificamos los términos que se cancelan:

$X^{2}+XA+AX+A^{2}-X^{2}-XA=I_{3}$

$AX+A^{2}=I_{3} \Rightarrow AX=I_{3}-A^{2}$

La incógnita queda multiplicada por $A$ por la izquierda, de modo que multiplicamos también por la izquierda por $A^{-1}$, que existe por el apartado anterior.

$A^{-1}AX=A^{-1}\left(I_{3}-A^{2}\right) \Rightarrow X=A^{-1}-A^{-1}A^{2}=A^{-1}-A$

Ya tenemos las dos matrices, así que basta restarlas:

$X=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ -2 & 0 & -4 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

La matriz pedida es $X=\begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ -2 & 0 & -4 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$.