Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2022

Dado $x \in \mathbb{R}$ y las matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & x-1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calcule los valores de $x$ para los cuales la matriz $A$ no posee inversa. [1 punto]

b) Calcule el rango de $A$ según los valores de $x$. [0,75 puntos]

c) Para $x = 1$, calcule en caso de que sea posible $A \cdot B$ y $A \cdot C$, o indique por qué no se puede realizar. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ para los cuales la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ no posee inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, de modo que los valores buscados son las raíces de ese determinante. Lo desarrollamos por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & x-1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

$=-1\begin{vmatrix} x-1 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} -1 & x-1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$=-1\left[(x-1)+6\right]+1\left[-1+3\right]-2\left[-2-(x-1)\right]$

$=-x-5+2-2(-1-x)=-x-5+2+2+2x=x-1$

$|A|=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$

La matriz $A$ no posee inversa únicamente para $x=1$.

$\textbf{b) Calcule el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Si $x\neq1$, el determinante no se anula y el rango es máximo:

$\operatorname{rg}(A)=3$

Si $x=1$, el determinante vale cero, así que el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}=0-1=-1\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 salvo para $x=1$, donde vale 2.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{x=1}\textbf{, calcule en caso de que sea posible } \boldsymbol{A\cdot B}\textbf{ y } \boldsymbol{A\cdot C}\textbf{, o indique por qué no se puede realizar. [0,75 puntos]}$

Antes de operar comprobamos las dimensiones: el producto existe cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el de filas de la segunda.

$A_{3\times3}, \qquad B_{3\times1}, \qquad C_{1\times3}$

Para $A\cdot B$ las 3 columnas de $A$ casan con las 3 filas de $B$, así que el producto se puede hacer y da una matriz $3\times1$.

$A\cdot B=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -1+1-2 \\ -1+0-3 \\ 1-2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$

Para $A\cdot C$ habría que enfrentar las 3 columnas de $A$ con la única fila de $C$:

$A_{3\times3}\cdot C_{1\times3}: \quad 3\neq1$

El producto $A\cdot C$ no se puede realizar porque las dimensiones no encajan. Sí sería posible el producto en el otro orden, $C\cdot A$, que daría una matriz $1\times3$.