Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2022

Sea $a \in \mathbb{R}$ y $P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$.

a) Calcule el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$. [1 punto]

b) Para $a = 1$, ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]

c) Calcule, en caso de que exista, los valores de $a$ tales que $\det(P) = \det(P^{-1})$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el determinante y el rango de } \boldsymbol{P}\textbf{ para cada valor de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1 punto]}$

Desarrollamos el determinante por la primera columna, que tiene un cero.

$|P|=\begin{vmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{vmatrix}=-1\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & a \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$=-1(a+2)-1(-2-2)=-a-2+4=2-a$

$|P|=0 \Rightarrow a=2$

Si $a\neq2$, el determinante no se anula y el rango es máximo:

$\operatorname{rg}(P)=3$

Si $a=2$, el determinante vale cero, pero el menor de las dos primeras filas y columnas no:

$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=-1\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(P)=2$

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{, ¿existe } \boldsymbol{P^{-1}}\textbf{? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, y para $a=1$ el apartado anterior da:

$|P|=2-1=1\neq0 \Rightarrow \text{existe } P^{-1}$

La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$P=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P^{t}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}=\dfrac{1}{|P|}\operatorname{Adj}(P^{t})=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$P\cdot P^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{c) Calcule, en caso de que exista, los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ tales que } \boldsymbol{\det(P)=\det(P^{-1})}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante, propiedad que se deduce de tomar determinantes en $P\cdot P^{-1}=I$.

$\det(P)\cdot\det(P^{-1})=\det(I)=1 \Rightarrow \det(P^{-1})=\dfrac{1}{\det(P)}$

La condición pedida se convierte entonces en una ecuación con una sola incógnita:

$\det(P)=\dfrac{1}{\det(P)} \Rightarrow \left[\det(P)\right]^{2}=1 \Rightarrow \det(P)=\pm1$

Sustituimos el determinante calculado en el apartado a):

$2-a=1 \Rightarrow a=1$

$2-a=-1 \Rightarrow a=3$

Los dos valores son válidos, porque en ambos el determinante es distinto de cero y la inversa existe.

Los valores pedidos son $a=1$ y $a=3$.