Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2023

Sea $a \in \mathbb{R}$ y $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$.

a) Calcule el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$. [0,75 puntos]

b) Para $a = 1$, ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]

c) Para $a = 1$, calcule $\det(M)$ sabiendo que $PM = M^2$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule el determinante y el rango de } \boldsymbol{P}\textbf{ para cada valor de } \boldsymbol{a}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Desarrollamos el determinante por la tercera fila, que es la que tiene un cero.

$|P|=\begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

$=-2(0-a)-2(1+1)=2a-4=2(a-2)$

$|P|=0 \Rightarrow a=2$

Si $a\neq2$, el determinante no se anula y el rango es máximo:

$\operatorname{rg}(P)=3$

Si $a=2$, el determinante vale cero, pero el menor de las dos primeras filas y columnas no:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1+1=2\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(P)=2$

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{, ¿existe } \boldsymbol{P^{-1}}\textbf{? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, y para $a=1$ el apartado anterior da:

$|P|=2(1-2)=-2\neq0 \Rightarrow \text{existe } P^{-1}$

La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$P=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}, \qquad P^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

$P^{-1}=\dfrac{1}{|P|}\operatorname{Adj}(P^{t})=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & -\frac{1}{2} \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$P\cdot P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & -\frac{1}{2} \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{, calcule } \boldsymbol{\det(M)}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{PM=M^{2}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

No hace falta conocer $M$: basta tomar determinantes en los dos miembros de la igualdad y usar que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$PM=M^{2}=M\cdot M \Rightarrow |P|\cdot|M|=|M|\cdot|M|$

Llamamos $d=|M|$ y sustituimos el determinante de $P$ obtenido en el apartado a):

$-2d=d^{2} \Rightarrow d^{2}+2d=0 \Rightarrow d(d+2)=0$

$\begin{cases} d=0 \\ d=-2 \end{cases}$

Los dos valores son posibles. Si $\det(M)=0$, la matriz $M$ es singular; si $\det(M)=-2$, es regular y de la igualdad se deduce entonces $M=P$, multiplicando por $M^{-1}$ por la derecha.

El determinante de $M$ solo puede valer 0 o $-2$.