Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2023

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Se pide:

a) Calcule, en caso de que sea posible, las dimensiones de una matriz $D$ tal que se pueda realizar el producto $A \cdot D \cdot B$. [0,75 puntos]

b) Estudie si puede existir una matriz $M$ tal que $M \cdot A = B$. [0,5 puntos]

c) Estudie si existe $(B \cdot A)^{-1}$ y calcúlela en caso de que sea posible. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule, en caso de que sea posible, las dimensiones de una matriz } \boldsymbol{D}\textbf{ tal que se pueda realizar el producto } \boldsymbol{A\cdot D\cdot B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda. Empezamos anotando las dimensiones de las matrices dadas y llamamos $p\times q$ a las de $D$.

$A_{3\times2}, \qquad B_{2\times3}, \qquad D_{p\times q}$

Para que se pueda hacer $A\cdot D$ hace falta que las 2 columnas de $A$ casen con las filas de $D$:

$p=2 \Rightarrow (A\cdot D)_{3\times q}$

Para que después se pueda multiplicar por $B$, que tiene 2 filas:

$q=2 \Rightarrow (A\cdot D\cdot B)_{3\times3}$

La matriz $D$ ha de ser cuadrada de orden 2, y el producto resultante es de dimensión $3\times3$.

$\textbf{b) Estudie si puede existir una matriz } \boldsymbol{M}\textbf{ tal que } \boldsymbol{M\cdot A=B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Repetimos el razonamiento de las dimensiones, ahora imponiendo además que el resultado sea exactamente $B$.

$M_{p\times q}\cdot A_{3\times2}=B_{2\times3}$

El producto exige $q=3$, y entonces $M\cdot A$ tiene dimensión $p\times2$. Para que coincida con $B$ tendría que ser $p\times2=2\times3$, lo que obliga a $2=3$.

No puede existir ninguna matriz $M$ que cumpla $M\cdot A=B$: el producto tiene siempre dos columnas y $B$ tiene tres.

$\textbf{c) Estudie si existe } \boldsymbol{(B\cdot A)^{-1}}\textbf{ y calcúlela en caso de que sea posible. [1,25 puntos]}$

Efectuamos primero el producto, que sí se puede hacer porque $B$ tiene 3 columnas y $A$ tiene 3 filas.

$B\cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-1+0 & 1+1+2 \\ -2+0+0 & -1+0+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula.

$|B\cdot A|=1\cdot1-4\cdot(-2)=1+8=9\neq0$

Existe la inversa. En una matriz de orden 2 se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

$(B\cdot A)^{-1}=\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

La inversa pedida es $(B\cdot A)^{-1}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.