Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2023

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}$.

a) Calcule todas las matrices $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ tales que $A \cdot X = 2X$. [1,25 puntos]

b) Calcule todas las matrices $M$ que cumplen $M(B + I) = 2I$, donde $I$ es la matriz identidad $2 \times 2$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule todas las matrices } \boldsymbol{X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}}\textbf{ tales que } \boldsymbol{A\cdot X=2X}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La igualdad no es un sistema con término independiente hasta que se pasa todo a un miembro. Como $2X=2I\cdot X$, se puede sacar factor común $X$ por la derecha.

$A\cdot X=2X \Rightarrow A\cdot X-2I\cdot X=0 \Rightarrow (A-2I)\cdot X=0$

$A-2I=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Queda un sistema homogéneo, que siempre es compatible. La segunda ecuación es la trivial $0=0$, así que solo quedan dos ecuaciones con tres incógnitas.

$\begin{cases} -x+y+z=0 \\ x+y-z=0 \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones desaparecen $x$ y $z$:

$2y=0 \Rightarrow y=0 \Rightarrow -x+z=0 \Rightarrow z=x$

El rango de la matriz de coeficientes es 2 y hay tres incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Tomamos como parámetro la incógnita que queda libre:

$x=\lambda \Rightarrow X=\begin{pmatrix} \lambda \\ 0 \\ \lambda \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \lambda\in\mathbb{R}$

Las matrices pedidas son todas las de la forma $X=\lambda(1,0,1)^{t}$, es decir, los múltiplos de $(1,0,1)^{t}$.

$\textbf{b) Calcule todas las matrices } \boldsymbol{M}\textbf{ que cumplen } \boldsymbol{M(B+I)=2I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad } \boldsymbol{2\times2}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La incógnita está multiplicada por la izquierda, así que despejaremos multiplicando por la inversa de $B+I$ también por la derecha. Antes hay que comprobar que esa inversa existe.

$B+I=\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$

$|B+I|=5\cdot(-4)-6\cdot(-3)=-20+18=-2\neq0$

$(B+I)^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \end{pmatrix}$

$M(B+I)=2I \Rightarrow M(B+I)(B+I)^{-1}=2I(B+I)^{-1} \Rightarrow M=2(B+I)^{-1}$

$M=2\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}$

La única matriz que cumple la ecuación es $M=\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}$, que resulta ser la propia $B$: al ser $B+I$ invertible, la solución es única.