Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2024

Sea $x \in \mathbb{R}$ y las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

a) Decida de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes $CAB$ y $BAC$. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse? [0,75 puntos]

b) Calcule según los valores de $x$ el rango de $A$. Para $x = 0$, compruebe que existe $A^{-1}$ y calcúlela. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Decida de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes } \boldsymbol{CAB}\textbf{ y } \boldsymbol{BAC}\textbf{. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse? [0,75 puntos]}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda. Empezamos anotando las dimensiones.

$A_{3\times3}, \qquad B_{1\times3}, \qquad C_{3\times1}$

Para $C\cdot A$ habría que multiplicar una matriz de 1 columna por otra de 3 filas:

$C_{3\times1}\cdot A_{3\times3}: \quad 1\neq3 \Rightarrow \text{no se puede}$

Al fallar ya el primer producto, la operación $CAB$ no se puede realizar.

Para $BAC$ se encadenan bien las tres dimensiones:

$B_{1\times3}\cdot A_{3\times3}=(BA)_{1\times3}$

$(BA)_{1\times3}\cdot C_{3\times1}=(BAC)_{1\times1}$

El producto $CAB$ no se puede efectuar y $BAC$ sí, dando una matriz de dimensión $1\times1$, es decir, un número.

$\textbf{b) Calcule según los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{. Para } \boldsymbol{x=0}\textbf{, compruebe que existe } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ y calcúlela. [1,75 puntos]}$

El rango vale 3 mientras el determinante no se anule, así que lo calculamos primero. Lo desarrollamos por la segunda columna, que tiene dos ceros.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & x \end{vmatrix}=-2(-x-6)=2x+12$

$|A|=0 \Rightarrow 2x+12=0 \Rightarrow x=-6$

Si $x\neq-6$, entonces $|A|\neq0$ y $\operatorname{rg}(A)=3$.

Si $x=-6$, el determinante se anula, pero queda un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}=0+2=2\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

Para $x=0$ resulta $|A|=12\neq0$, de modo que la matriz es regular y su inversa existe. La calculamos con la adjunta de la traspuesta.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{t})=\dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 6 & -6 & -6 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 6 & -6 & -6 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

El rango de $A$ es 3 salvo para $x=-6$, donde vale 2, y para $x=0$ la inversa es la matriz obtenida.