Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2024

Sea $x \in \mathbb{R}$ y la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & x \end{pmatrix}$.

a) Dé el $\operatorname{rg}(A)$ según los valores de $x$. Para $x = 1$, compruebe que existe $A^{-1}$ y calcúlela. [1,5 puntos]

b) Tome $x = 1$. Supongamos que $B$ es una matriz $3 \times 3$ con $\det(B) = 5$. Calcule $\det(AB)$. Razone cuál debe ser el valor de $\det\left(\dfrac{1}{5}AB\right)$. [1 punto]

$\textbf{a) Dé el } \boldsymbol{\operatorname{rg}(A)}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{. Para } \boldsymbol{x=1}\textbf{, compruebe que existe } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ y calcúlela. [1,5 puntos]}$

El rango de una matriz cuadrada de orden 3 es 3 exactamente cuando su determinante no se anula, así que empezamos calculándolo. Lo desarrollamos por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & x \end{vmatrix}=-1\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 2 & x \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & x \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$=-1(-3x)+2(-2x)-2(-4+3)=3x-4x+2=2-x$

$|A|=0 \Rightarrow 2-x=0 \Rightarrow x=2$

Si $x\neq2$, entonces $|A|\neq0$ y $\operatorname{rg}(A)=3$.

Si $x=2$, el determinante se anula, pero el menor formado por las dos primeras filas y columnas no:

$\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}=3-4=-1\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

Para $x=1$ se tiene $|A|=2-1=1\neq0$, luego la matriz es regular y existe $A^{-1}$. La calculamos con la fórmula de la matriz adjunta de la traspuesta.

$A=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{t}=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ -2 & -3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{t})=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} -3 & -2 & -6 \\ 2 & 1 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -2 & -6 \\ 2 & 1 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

El rango de $A$ es 3 salvo para $x=2$, en cuyo caso vale 2, y para $x=1$ la inversa es la matriz obtenida.

$\textbf{b) Tome } \boldsymbol{x=1}\textbf{. Supongamos que } \boldsymbol{B}\textbf{ es una matriz } \boldsymbol{3\times3}\textbf{ con } \boldsymbol{\det(B)=5}\textbf{. Calcule } \boldsymbol{\det(AB)}\textbf{. Razone cuál debe ser el valor de } \boldsymbol{\det\left(\frac{1}{5}AB\right)}\textbf{. [1 punto]}$

El determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden es el producto de los determinantes, y en el apartado anterior obtuvimos $|A|=1$ para $x=1$.

$\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)=1\cdot5=5$

Para la segunda parte hay que recordar que multiplicar una matriz por un número multiplica todas y cada una de sus filas por ese número, y que sacar un factor común de una fila multiplica el determinante por él. Con tres filas el factor sale tres veces:

$\det(k\,M)=k^{n}\det(M) \quad \text{para } M \text{ de orden } n$

Aplicándolo con $k=\dfrac{1}{5}$ y $n=3$:

$\det\left(\dfrac{1}{5}AB\right)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{3}\det(AB)=\dfrac{1}{125}\cdot5=\dfrac{1}{25}$

El determinante de $AB$ vale 5 y el de $\frac{1}{5}AB$ vale $\frac{1}{25}$, que es 0,04.