Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2022

Dos cargas eléctricas puntuales de valor $Q_1=2\mu \text{C}$ y $Q_2=-4\mu \text{C}$, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos $(0,5)$ y $(0,-5)$ respectivamente. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo eléctrico en el punto $(5,0)$. [1,5 puntos]

b) Calcule el potencial eléctrico debido a las dos cargas en el punto $(5,0)$. [0,5 puntos]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de $1\mu \text{C}$ cuando se desplaza desde un punto infinitamente alejado de $Q_1$ y $Q_2$ hasta el punto $(5,0)$. [0,5 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El campo creado por una carga puntual vale $E=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r^2}}$; se aleja de la carga si es positiva y apunta hacia ella si es negativa.

Las dos cargas están a la misma distancia del punto, que es el vértice de dos triángulos rectángulos iguales.





La distancia de cada carga al punto se obtiene por Pitágoras:

$r=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=\mathrm{7,07}\text{ m}\Rightarrow r^2=50{\text{m}}^2$

Los vectores unitarios forman ${45}^{\circ }$ con los ejes, de modo que sus componentes valen $\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Campo creado por $Q_1=2\mu \text{C}$, que es positiva y por tanto se aleja de ella, hacia abajo y a la derecha:

$E_1=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{Q}_1\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{50}}=360\text{ N/C}$

${\vec{E}}_1=360({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=(\mathrm{254,6};-\mathrm{254,6})\text{ N/C}$

Campo creado por $Q_2=-4\mu \text{C}$, que es negativa y por tanto apunta hacia ella, hacia abajo y a la izquierda:

$E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{Q}_2\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{50}}=720\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=720(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=(-\mathrm{509,1};-\mathrm{509,1})\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec{E}={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=(-\mathrm{254,6}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{763,7}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ N/C}$

$E=\sqrt{{\mathrm{254,6}}^2+{\mathrm{763,7}}^2}=805\text{ N/C}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El potencial es escalar y las dos cargas están a la misma distancia, así que basta sumar sus valores con el signo:

$V=K{\displaystyle \frac{Q_1+Q_2}{r}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}-4\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{7,071}}}$

$V=-\mathrm{2,55}\cdot {10}^3\text{ V}$



El campo eléctrico es conservativo y el potencial en el infinito es nulo:

$W=q(V_{\mathrm{\infty }}-V)={10}^{-6}(0-(-\mathrm{2545,6}))$

$W=\mathrm{2,55}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

El trabajo es positivo, luego el desplazamiento es espontáneo: la carga positiva es atraída hacia una región de potencial negativo, la que domina la carga de $-4\mu \text{C}$.