Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2021

Dos cargas eléctricas puntuales de valor $Q_1=1\mu \text{C}$ y $Q_2=-1\mu \text{C}$, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos $(2,0)$ y $(-2,0)$ respectivamente. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo eléctrico en el punto $(0,2)$. [1 punto]

b) ¿Qué valor debe tener una tercera carga, $Q_3$, situada en $(1,2)$, para que una carga situada en el punto $(0,2)$ no experimente ninguna fuerza neta? [1 punto]

c) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto $(0,2)$ debido a las cargas $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$? [0,5 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El campo creado por una carga puntual vale $E=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r^2}}$; se aleja de la carga si es positiva y apunta hacia ella si es negativa.

El punto está en la mediatriz del segmento que une las dos cargas, así que dista lo mismo de ambas.





$r=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}=\mathrm{2,83}\text{ m}\Rightarrow r^2=8{\text{m}}^2$

Como las dos cargas tienen el mismo valor absoluto, los dos campos tienen el mismo módulo:

$E_1=E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }Q\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{8}}=1125\text{ N/C}$

El campo de $Q_1$, que es positiva, se aleja de ella; el de $Q_2$, que es negativa, se dirige hacia ella. Cada uno forma ${45}^{\circ }$ con la horizontal, uno hacia arriba y el otro hacia abajo, así que las componentes verticales se cancelan y las horizontales se suman:

$\vec{E}=-2E_1\cos {45}^{\circ }\vec{\mathrm{ı}}=-2\cdot 1125\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\vec{\mathrm{ı}}$

$\vec{E}=-\mathrm{1,59}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

Este es el resultado general del dipolo: en la mediatriz el campo es paralelo a la recta que une las cargas y va de la positiva a la negativa.



Para que la fuerza sobre una carga colocada en $(0,2)$ sea nula, el campo total en ese punto ha de anularse. La carga $Q_3$ debe crear allí un campo igual y opuesto al anterior:

${\vec{E}}_3=+1591\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

La distancia entre $(1,2)$ y $(0,2)$ es de 1 m, y el vector que va de $Q_3$ al punto apunta hacia $-\vec{\mathrm{ı}}$. Para que el campo salga hacia $+\vec{\mathrm{ı}}$, es decir, hacia la propia carga, esta debe ser negativa.

Se despeja su valor absoluto:

$E_3=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{Q}_3\mathrm{\mid }}{d^2}}\Rightarrow \mathrm{\mid }{Q}_3\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{E_3{d}^2}{K}}={\displaystyle \frac{1591\cdot 1^2}{9\cdot {10}^9}}$

$Q_3=-\mathrm{1,77}\cdot {10}^{-7}\text{ C}=-\mathrm{0,177}\mu \text{C}$



El potencial es una magnitud escalar y se suman los de las tres cargas con su signo:

$V=K({\displaystyle \frac{Q_1}{r}}+{\displaystyle \frac{Q_2}{r}}+{\displaystyle \frac{Q_3}{d}})$

Las dos primeras están a la misma distancia y son opuestas, así que sus potenciales se cancelan:

$K{\displaystyle \frac{Q_1+Q_2}{r}}=K{\displaystyle \frac{{10}^{-6}-{10}^{-6}}{\mathrm{2,828}}}=0\text{ V}$

Solo queda la contribución de $Q_3$:

$V=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{-\mathrm{1,768}\cdot {10}^{-7}}{1}}$

$V=-\mathrm{1,59}\cdot {10}^3\text{ V}$

Merece la pena señalarlo: que el campo se anule en un punto no implica que el potencial sea nulo allí, ni al revés. Son cosas distintas.