Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2025

Tres cargas $q_1$, $q_2$ y $q_3$ se colocan en los puntos $(0,0)$ m, $(0,3)$ m y $(2,2)$ m respectivamente, como se muestra en la figura. Las cargas $q_1$ y $q_2$ valen $5\mu \text{C}$. Además, el potencial en el punto $(1,1)$ m es 45,6 kV. Calcule: [2,5 puntos]

a) El valor de la carga $q_3$. [0,5 puntos]

b) El trabajo necesario para trasladar una carga de $2\mu \text{C}$ desde el punto $(1,1)$ m hasta $(0,2)$ m, interpretando razonadamente el signo del trabajo obtenido. [1 punto]

c) El vector campo eléctrico en el punto $(0,2)$ m debido a las cargas $q_1$, $q_2$ y $q_3$. [1 punto]

Dato: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

El potencial que crean varias cargas puntuales en un punto es la suma escalar de los que crea cada una:

$V=k{\sum }_i{\displaystyle \frac{q_i}{d_i}}$

Se calculan las distancias desde cada carga hasta el punto $P(1,1)$ m:

$d_1=\sqrt{1^2+1^2}=\mathrm{1,41}\text{ m}$

$d_2=\sqrt{1^2+2^2}=\mathrm{2,24}\text{ m}$

$d_3=\sqrt{1^2+1^2}=\mathrm{1,41}\text{ m}$

La contribución de las dos cargas conocidas vale:

$V_{12}=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,41}}}+{\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{2,24}}})=\mathrm{5,19}\cdot {10}^4\text{ V}$

Como el potencial total en $P$ es de $\mathrm{45,6}\text{ kV}$, la tercera carga tiene que aportar la diferencia:

$k{\displaystyle \frac{q_3}{d_3}}=\mathrm{4,56}\cdot {10}^4-\mathrm{5,19}\cdot {10}^4=-\mathrm{6,3}\cdot {10}^3\text{ V}$

$q_3={\displaystyle \frac{-\mathrm{6,3}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{1,41}}{9\cdot {10}^9}}=-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-6}\text{ C}$

La tercera carga vale $-1\mu \text{C}$: es negativa, como cabía esperar de que el potencial medido sea menor que el que crean por sí solas las dos cargas positivas.



Hace falta antes el potencial en el punto de llegada $B(0,2)$ m, cuyas distancias a las tres cargas son $2\text{ m}$, $1\text{ m}$ y $2\text{ m}$:

$V_B=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{2}}+{\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{1}}-{\displaystyle \frac{1\cdot {10}^{-6}}{2}})=\mathrm{6,30}\cdot {10}^4\text{ V}$

El campo eléctrico es conservativo, de modo que el trabajo que realiza al trasladar la carga es:

$W_{\text{campo}}=q(V_P-V_B)=2\cdot {10}^{-6}(\mathrm{4,56}\cdot {10}^4-\mathrm{6,30}\cdot {10}^4)$

$W_{\text{campo}}=-\mathrm{3,48}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

Si la carga se traslada muy despacio, el trabajo que ha de aportar el agente externo es el opuesto:

$W_{\text{ext}}=-W_{\text{campo}}=\mathrm{3,48}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

El trabajo del campo es negativo porque se lleva una carga positiva desde un punto de potencial menor a otro de potencial mayor, lo que el campo no hace por sí solo. El desplazamiento no es espontáneo y hay que aportar desde fuera $\mathrm{3,48}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$, que quedan almacenados como energía potencial del sistema.












El campo que crea una carga puntual se aleja de ella si es positiva y apunta hacia ella si es negativa:

$\vec{E}=k{\displaystyle \frac{q}{d^2}}{\vec{u}}_r$





Campo que crea $q_1$, positiva, situada $2\text{ m}$ por debajo del punto:

${\vec{E}}_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{2^2}}\vec{\mathrm{ȷ}}=\mathrm{1,13}\cdot {10}^4\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Campo que crea $q_2$, positiva, situada $1\text{ m}$ por encima:

${\vec{E}}_2=-9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{1^2}}\vec{\mathrm{ȷ}}=-\mathrm{4,50}\cdot {10}^4\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Campo que crea $q_3$, negativa, situada $2\text{ m}$ a la derecha, hacia la que apunta el campo:

${\vec{E}}_3=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{1\cdot {10}^{-6}}{2^2}}\vec{\mathrm{ı}}=\mathrm{2,25}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

Por el principio de superposición se suman los tres:

$\vec{E}=(\mathrm{2,25}\cdot {10}^3)\vec{\mathrm{ı}}+(\mathrm{1,13}\cdot {10}^4-\mathrm{4,50}\cdot {10}^4)\vec{\mathrm{ȷ}}$

$\vec{E}=(\mathrm{2,25}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{33,75}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^3\text{ N/C}$

Su módulo y el ángulo que forma con el semieje $X$ positivo son:

$E=\sqrt{(\mathrm{2,25}{)}^2+(\mathrm{33,75}{)}^2}\cdot {10}^3=\mathrm{3,38}\cdot {10}^4\text{ N/C}$

$\alpha =\arctan {\displaystyle \frac{-\mathrm{33,75}}{\mathrm{2,25}}}=-{\mathrm{86,2}}^{\circ }$

El campo en ese punto es prácticamente vertical y hacia abajo, porque $q_2$ está cuatro veces más cerca que las otras dos cargas y su contribución domina sobre todas las demás.