Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2024

Tres cargas eléctricas puntuales se encuentran situadas en los vértices de un triángulo, dos de ellas con carga $-q$ colocadas en los puntos $A(1,0)\text{ m}$ y $B(0,1)\text{ m}$, respectivamente, mientras que la tercera carga tiene un valor $+2q$ y se encuentra situada en el origen $O(0,0)$, siendo $q={10}^{-6}\text{ C}$.

a) Determine el campo eléctrico resultante en el punto $C(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)\text{ m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo necesario para trasladar una carga $+q$ desde el punto $C(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)\text{ m}$ hasta el punto $D(1,1)\text{ m}$. Justifique quién realiza dicho trabajo. [1 punto]

Dato: $k=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

El campo creado por una carga puntual es $\vec{E}=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\vec{u}}_r$ y, por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los tres.

El punto $C$ es el punto medio del segmento $AB$, y equidista de las tres cargas:

$r=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ m}\Rightarrow r^2=\frac{1}{2}{\text{m}}^2$





Campo de la carga $+2q$ situada en el origen, que se aleja de ella:

$E_O=K\frac{2q}{r^2}=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\cdot \frac{2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

${\vec{E}}_O=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=(\mathrm{2,55}\cdot {10}^4,\mathrm{2,55}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

Campos de las dos cargas $-q$, que apuntan hacia cada una de ellas:

$E_A=E_B=K\frac{q}{r^2}=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\cdot \frac{{10}^{-6}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

${\vec{E}}_A=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\cdot \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}=(\mathrm{1,27}\cdot {10}^4,-\mathrm{1,27}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

${\vec{E}}_B=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\cdot \frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}=(-\mathrm{1,27}\cdot {10}^4,\mathrm{1,27}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

Las cargas de $A$ y $B$ son iguales y están colocadas simétricamente respecto de $C$, así que sus campos son opuestos y se cancelan:

${\vec{E}}_C={\vec{E}}_O+{\vec{E}}_A+{\vec{E}}_B={\vec{E}}_O=(\mathrm{2,55}\cdot {10}^4,\mathrm{2,55}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

$\mathrm{\mid }{\vec{E}}_C\mathrm{\mid }=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

El campo resultante en $C$ tiene módulo $\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$ y está dirigido según la bisectriz del primer cuadrante, alejándose de la carga positiva.



El campo eléctrico es conservativo y el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales de los puntos inicial y final:

$W_{C\to D}=q(V_C-V_D)$

En $C$ las tres cargas están a la misma distancia, de modo que el potencial se anula:

$V_C=\frac{K}{\sqrt{2}\mathrm{/}2}(2q-q-q)=0\text{ V}$

En $D(1,1)$ las distancias son $r_{OD}=\sqrt{2}\text{ m}$ y $r_{AD}=r_{BD}=1\text{ m}$:

$V_D=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9(\frac{2\cdot {10}^{-6}}{\sqrt{2}}-\frac{{10}^{-6}}{1}-\frac{{10}^{-6}}{1})$

$V_D=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\cdot (-\mathrm{5,86}\cdot {10}^{-7})=-\mathrm{5,27}\cdot {10}^3\text{ V}$

Sustituyendo:

$W_{C\to D}={10}^{-6}\cdot (0-(-\mathrm{5,27}\cdot {10}^3))=\mathrm{5,27}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

El trabajo es positivo, así que lo realiza el propio campo eléctrico del sistema de cargas: la carga positiva se desplaza espontáneamente desde $C$ hasta $D$, que es un punto de menor potencial, y su energía potencial disminuye en $\mathrm{5,27}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$.