Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2021

Un dipolo está formado por dos cargas puntuales, $q_1=+3\text{ nC}$ y $q_2=-3\text{ nC}$, situadas a una distancia mutua de 3 cm. Una partícula de polvo con masa $m=5\cdot {10}^{-9}\text{ kg}$ y carga eléctrica $q_0=+2\text{ nC}$ se coloca en reposo en un punto $A$ localizado entre las dos cargas y a una distancia de 1 cm respecto de la carga positiva. Calcule:

a) El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza externa ejercida sobre la partícula de polvo. [1 punto]

b) El trabajo para trasladar la partícula desde el punto $A$ a un punto $B$ que dista 1 cm de la partícula negativa. [1 punto]

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{externa}}\mathbf{\text{ejercida}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{polvo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La partícula de polvo se coloca en reposo, de modo que la fuerza externa debe equilibrar exactamente a la fuerza eléctrica que ejerce el dipolo sobre ella.

El punto $A$ está entre las dos cargas, a $1\text{ cm}$ de la positiva y a $2\text{ cm}$ de la negativa. El campo de la carga positiva se aleja de ella y el de la negativa apunta hacia ella, así que los dos llevan el mismo sentido y se suman.





$E_1=K\frac{q_1}{r_1^2}=9\cdot {10}^9\cdot \frac{3\cdot {10}^{-9}}{({10}^{-2}{)}^2}=\mathrm{2,7}\cdot {10}^5\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

$E_2=K\frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{r_2^2}=9\cdot {10}^9\cdot \frac{3\cdot {10}^{-9}}{(2\cdot {10}^{-2}{)}^2}=\mathrm{6,75}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

$E_A=E_1+E_2=\mathrm{3,375}\cdot {10}^5\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

La fuerza eléctrica sobre la partícula, que tiene carga positiva, lleva el sentido del campo, es decir, apunta de la carga positiva hacia la negativa:

$F_e=q_0{E}_A=2\cdot {10}^{-9}\cdot \mathrm{3,375}\cdot {10}^5=\mathrm{6,75}\cdot {10}^{-4}\text{ N}$

Para que la partícula permanezca en reposo, la fuerza externa debe ser igual y opuesta:

$F_{\text{ext}}=\mathrm{6,75}\cdot {10}^{-4}\text{ N}$

con la dirección de la recta que une las dos cargas y sentido de la negativa hacia la positiva. Obsérvese que el peso de la partícula, $mg=5\cdot {10}^{-9}\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{4,9}\cdot {10}^{-8}\text{ N}$, es cuatro órdenes de magnitud menor que la fuerza eléctrica.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{trasladar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{B}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dista}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{negativa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El punto $B$ está a $1\text{ cm}$ de la carga negativa y, por tanto, a $2\text{ cm}$ de la positiva: es la situación simétrica de $A$.

El campo eléctrico es conservativo, así que el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales inicial y final:

$V_A=K(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2})=9\cdot {10}^9(\frac{3\cdot {10}^{-9}}{{10}^{-2}}-\frac{3\cdot {10}^{-9}}{2\cdot {10}^{-2}})$

$V_A=1350\text{ V}$

$V_B=9\cdot {10}^9(\frac{3\cdot {10}^{-9}}{2\cdot {10}^{-2}}-\frac{3\cdot {10}^{-9}}{{10}^{-2}})=-1350\text{ V}$

$W_{A\to B}=q_0(V_A-V_B)=2\cdot {10}^{-9}\cdot (1350-(-1350))$

$W_{A\to B}=\mathrm{5,4}\cdot {10}^{-6}\text{ J}$

El trabajo es positivo, así que lo realiza el propio campo eléctrico: la partícula, positiva, se desplaza espontáneamente hacia la carga negativa, que la atrae, alejándose de la positiva, que la repele.