Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Navarra · 2024

(A) Definición de superficies equipotenciales y relación con las líneas de campo para el campo eléctrico. Dibujo (para una única carga). Trabajo en una superficie equipotencial. (1 punto)

(B) En un punto del espacio, $x=1\text{ m}$, el potencial eléctrico tiene un valor de 100 V, mientras que en $x=10\text{ m}$ el potencial vale 1.000 V. El campo eléctrico es constante y su dirección coincide con el eje OX.

a) Hallar el módulo y sentido del campo eléctrico. (0,5 puntos)
b) Razonar en qué punto de los dos anteriores debemos abandonar a un electrón para que se dirija al otro. ¿Con qué velocidad llegará? (1 punto)

Datos: $m_{\text{electr}\acute{\text{o}}\text{n}}=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $q_{\text{electr}\acute{\text{o}}\text{n}}=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{superficies}}\mathbf{\text{equipotenciales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{neas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}\mathbf{\text{Dibujo}}\mathbf{\text{(para}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{carga).}}\mathbf{\text{Trabajo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{equipotencial.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico:

$V(x,y,z)=\text{constante}$

Para una carga puntual el potencial solo depende de la distancia:

$V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}$

así que las superficies equipotenciales son $\mathbf{\text{esferas}}\mathbf{\text{conc}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntricas}}$ centradas en la carga.





Las líneas de campo, en cambio, son en ese caso los radios de esas esferas: salen de la carga si es positiva y entran en ella si es negativa. La relación entre unas y otras es general:

$\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{neas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{perpendiculares}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{superficies}}\mathbf{\text{equipotenciales}}$

y apuntan en el sentido en el que el potencial decrece más deprisa, ya que $\vec{E}=-\mathrm{grad}V$.

De ahí se deduce el trabajo al moverse sobre una equipotencial. El trabajo del campo eléctrico entre dos puntos vale:

$W=q(V_A-V_B)$

y si los dos puntos están en la misma superficie equipotencial, $V_A=V_B$ y por tanto:

$W=0\text{ J}$

Se llega a lo mismo por el otro camino: la fuerza es perpendicular al desplazamiento en todo momento, así que su trabajo es nulo. Mover una carga sobre una superficie equipotencial no cuesta ninguna energía.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$



En un campo uniforme el potencial varía linealmente con la posición y el campo es la pendiente cambiada de signo:

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }V}{\mathrm{\Delta }x}}$

$E=-{\displaystyle \frac{1.000-100}{10-1}}=-100\text{ V/m}$

El módulo del campo es de $100\text{ V/m}$ y el signo negativo indica el sentido: el campo apunta en el $\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{negativo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{OX}}$, es decir, hacia los potenciales decrecientes.

$\vec{E}=-100\vec{\mathrm{ı}}\text{ V/m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razonar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{debemos}}\mathbf{\text{abandonar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{dirija}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{otro.}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{llegar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La fuerza sobre el electrón es:

$\vec{F}=q\vec{E}=(-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19})\cdot (-100\vec{\mathrm{ı}})=+\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-17}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N}$

Al ser negativa la carga, la fuerza tiene sentido contrario al campo y apunta hacia las $x$ crecientes. Hay que abandonar el electrón en $\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{m}}$, y él solo se dirigirá hacia $x=10\text{ m}$.

Dicho con potenciales: una carga negativa se mueve espontáneamente hacia los potenciales mayores, y el mayor de los dos es el de $x=10\text{ m}$.

El campo es conservativo, así que el trabajo que realiza se invierte íntegramente en energía cinética:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }V=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }(1.000-100)$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 900}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}=\mathrm{1,78}\cdot {10}^7\text{ m/s}$

El electrón llega a $x=10\text{ m}$ con una velocidad de $\mathrm{1,78}\cdot {10}^7\text{ m/s}$.