Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2024

Tres cargas puntuales $q_1=8\mu \text{C}$ y $q_2=q_3=-4\mu \text{C}$ se colocan en los vértices de un cuadrado de lado 2 m, hallándose $q_1$ en el origen de coordenadas $O(0,0)$, y las cargas $q_2$ y $q_3$ en los vértices $A(2,0)\text{ m}$ y $B(0,2)\text{ m}$, respectivamente.

a) Realice un diagrama y determine el campo eléctrico en el centro del cuadrado $C(1,1)\text{ m}$. [1 punto]

b) Calcule el potencial eléctrico en los puntos $C$ y en el cuarto vértice $D(2,2)\text{ m}$. [0,5 puntos]

c) Determine el trabajo realizado para llevar una carga puntual $q_4=3\text{ nC}$ desde el vértice $D$ hasta el centro del cuadrado. Justifique si el trabajo se realiza por el campo eléctrico del sistema de cargas o en contra del campo del sistema de cargas. [0,5 puntos]

Dato: $k=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

El campo creado por una carga puntual es $\vec{E}=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\vec{u}}_r$, dirigido en el sentido de alejarse de la carga si es positiva y de acercarse a ella si es negativa.

Las tres cargas equidistan del centro del cuadrado:

$r=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\text{ m}\Rightarrow r^2=2{\text{m}}^2$

Por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los tres.





Campo de $q_1$, que se aleja del origen a lo largo de la diagonal $OC$:

$E_1=K\frac{q_1}{r^2}=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\cdot \frac{8\cdot {10}^{-6}}{2}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

${\vec{u}}_{OC}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\Rightarrow {\vec{E}}_1=(\mathrm{2,55}\cdot {10}^4,\mathrm{2,55}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

Campos de $q_2$ y $q_3$, que apuntan hacia cada carga por ser negativas:

$E_2=E_3=K\frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{r^2}=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\cdot \frac{4\cdot {10}^{-6}}{2}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

${\vec{E}}_2=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\cdot \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}=(\mathrm{1,27}\cdot {10}^4,-\mathrm{1,27}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

${\vec{E}}_3=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\cdot \frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}=(-\mathrm{1,27}\cdot {10}^4,\mathrm{1,27}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

Las dos cargas negativas son iguales y están colocadas simétricamente respecto de la diagonal, así que sus campos son opuestos y se cancelan:

${\vec{E}}_2+{\vec{E}}_3=\vec{0}$

Por tanto, el campo total en el centro es el que crea $q_1$:

${\vec{E}}_C={\vec{E}}_1=(\mathrm{2,55}\cdot {10}^4,\mathrm{2,55}\cdot {10}^4)\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

$\mathrm{\mid }{\vec{E}}_C\mathrm{\mid }=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$

El campo en el centro tiene módulo $\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N}\cdot {\text{C}}^{-1}$ y está dirigido a lo largo de la diagonal $OD$, alejándose de la carga positiva.



El potencial es una magnitud escalar y se suman directamente las contribuciones de las tres cargas:

$V=K{\sum }_i\frac{q_i}{r_i}$

En el centro $C$ las tres distancias valen $\sqrt{2}\text{ m}$:

$V_C=\frac{K}{\sqrt{2}}(8\cdot {10}^{-6}-4\cdot {10}^{-6}-4\cdot {10}^{-6})=0\text{ V}$

En el vértice $D$ las distancias son $r_{OD}=2\sqrt{2}\text{ m}$ y $r_{AD}=r_{BD}=2\text{ m}$:

$V_D=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9(\frac{8\cdot {10}^{-6}}{2\sqrt{2}}+\frac{-4\cdot {10}^{-6}}{2}+\frac{-4\cdot {10}^{-6}}{2})$

$V_D=\mathrm{9,0}\cdot {10}^9\cdot (-\mathrm{1,17}\cdot {10}^{-6})=-\mathrm{1,05}\cdot {10}^4\text{ V}$

El potencial en el centro es nulo y en el cuarto vértice vale $-\mathrm{1,05}\cdot {10}^4\text{ V}$.



El campo eléctrico es conservativo, de modo que el trabajo que realizan sus fuerzas es igual a la disminución de la energía potencial y solo depende de los potenciales inicial y final:

$W_{D\to C}=q_4(V_D-V_C)$

$W_{D\to C}=3\cdot {10}^{-9}\cdot (-\mathrm{1,05}\cdot {10}^4-0)$

$W_{D\to C}=-\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$

El trabajo de las fuerzas del campo es negativo, es decir, el campo se opone al desplazamiento. La carga es positiva y va desde un punto de potencial negativo hasta otro de potencial mayor, con lo que su energía potencial aumenta. Por tanto, el traslado no es espontáneo: lo debe realizar un agente externo, aportando

$W_{\text{ext}}=+\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$