Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2021

Dos cargas eléctricas puntuales de valor $5\mu \text{C}$ y $-3\mu \text{C}$, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos $(2,0)$ y $(-4,0)$ respectivamente. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo eléctrico en el punto $(0,2)$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de $2\mu \text{C}$ cuando se desplaza desde el punto $(0,2)$ hasta el infinito. [1 punto]

c) ¿Existe algún punto del eje $x$ (eje de abscisas) en el que se anule el campo eléctrico? En caso afirmativo, calcule su posición. [0,5 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



El campo creado por una carga puntual vale $E=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r^2}}$; se aleja de la carga si es positiva y apunta hacia ella si es negativa.

Campo creado por la carga de $5\mu \text{C}$, situada en $(2,0)$. El vector que va de la carga al punto es $(-2,2)$:

$r_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}=\mathrm{2,83}\text{ m}\Rightarrow r_1^2=8{\text{m}}^2$

$E_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{8}}=5625\text{ N/C}$

${\vec{E}}_1=5625\cdot {\displaystyle \frac{(-2,2)}{\mathrm{2,828}}}=(-\mathrm{3977,5};\mathrm{3977,5})\text{ N/C}$

Campo creado por la carga de $-3\mu \text{C}$, situada en $(-4,0)$. El vector que va de la carga al punto es $(4,2)$, pero como la carga es negativa el campo apunta en sentido contrario:

$r_2=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=\mathrm{4,47}\text{ m}\Rightarrow r_2^2=20{\text{m}}^2$

$E_2=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-6}}{20}}=1350\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=-1350\cdot {\displaystyle \frac{(4,2)}{\mathrm{4,472}}}=(-\mathrm{1207,5};-\mathrm{603,7})\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec{E}={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=(-\mathrm{5185,0}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{3373,7}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ N/C}$

$E=\sqrt{{\mathrm{5185,0}}^2+{\mathrm{3373,7}}^2}=\mathrm{6,19}\cdot {10}^3\text{ N/C}$



El campo eléctrico es conservativo, así que basta con la diferencia de potenciales. El potencial es escalar y se suman los de las dos cargas con su signo:

$V=K({\displaystyle \frac{q_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{q_2}{r_2}})=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{2,828}}}+{\displaystyle \frac{-3\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{4,472}}})$

$V=\mathrm{9,87}\cdot {10}^3\text{ V}$

El potencial en el infinito es nulo, de modo que:

$W=q(V-V_{\mathrm{\infty }})=2\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{9872,5}$

$W=\mathrm{1,97}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

El trabajo es positivo: en ese punto predomina la carga positiva, que repele a la carga de prueba hacia el infinito, y el desplazamiento es espontáneo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Existe}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{x}\mathbf{\text{(eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Se estudian las tres regiones en que las cargas dividen el eje. Entre ellas, los dos campos van en el mismo sentido, de la carga positiva a la negativa, y no pueden cancelarse.

Fuera del segmento sí son opuestos, pero para que se igualen en módulo el punto tiene que estar más cerca de la carga de menor valor absoluto, es decir, a la izquierda de la carga de $-3\mu \text{C}$.

Llamando $x$ a la abscisa del punto, con $x<-4$:

$K{\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{(2-x{)}^2}}=K{\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-6}}{(-4-x{)}^2}}$

$5(-4-x{)}^2=3(2-x{)}^2$

Desarrollando y agrupando se llega a una ecuación de segundo grado:

$2x^2+52x+68=0\Rightarrow x^2+26x+34=0$

$x={\displaystyle \frac{-26\pm \sqrt{676-136}}{2}}={\displaystyle \frac{-26\pm \mathrm{23,24}}{2}}$

$x_1=-\mathrm{24,6}\text{ m}{x}_2=-\mathrm{1,38}\text{ m}$

Se descarta $x_2=-\mathrm{1,38}\text{ m}$ porque cae entre las dos cargas, donde ya se ha razonado que los campos se suman en vez de restarse: es una solución de la ecuación de los módulos, no del problema.

El campo se anula, por tanto, en el punto $(-\mathrm{24,6};0)\text{ m}$.