Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2024

Una onda armónica transversal de frecuencia 5 Hz, de longitud de onda 40 cm y amplitud 2 cm, se propaga por una cuerda en sentido negativo del eje OX. En el instante $t=0\text{ s}$, la elongación del punto $x=0$ es 1 cm y su velocidad es negativa. Halle:

a) La expresión matemática de la onda en unidades SI. [1 punto]

b) La velocidad de propagación de la onda. [0,75 puntos]

c) La velocidad transversal del punto de la onda situado en $x=5\text{ cm}$ en función del tiempo. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{SI.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Se obtienen primero los parámetros de la onda a partir de los datos, expresados en unidades del Sistema Internacional:

$A=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}\lambda =40\text{ cm}=\mathrm{0,4}\text{ m}f=5\text{ Hz}$

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 5=10\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,4}}}=5\pi \text{ rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido negativo del eje $OX$, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\cos (\omega t+kx+{\phi }_0)$

La primera condición inicial fija el coseno de la fase:

$y(0,0)=\mathrm{0,02}\cos {\phi }_0=\mathrm{0,01}\Rightarrow \cos {\phi }_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow {\phi }_0=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

La segunda condición decide entre las dos posibilidades. La velocidad transversal es:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \sin (\omega t+kx+{\phi }_0)$

$v_y(0,0)=-A\omega \sin {\phi }_0<0\Rightarrow \sin {\phi }_0>0\Rightarrow {\phi }_0=+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

La expresión matemática de la onda es, por tanto:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\cos (10\pi t+5\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es:

$v=\lambda f={\displaystyle \frac{\omega }{k}}=\mathrm{0,4}\cdot 5$

$v=2\text{ m/s}$

La onda avanza a $2\text{ m/s}$ en el sentido negativo del eje $OX$.



Se parte de la expresión general de la velocidad transversal:

$v_y(x,t)=-A\omega \sin (\omega t+kx+{\phi }_0)=-\mathrm{0,02}\cdot 10\pi \sin (10\pi t+5\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

Se sustituye la posición del punto, $x=5\text{ cm}=\mathrm{0,05}\text{ m}$:

$5\pi \cdot \mathrm{0,05}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$

$v_y(\mathrm{0,05};t)=-\mathrm{0,628}\sin (10\pi t+{\displaystyle \frac{7\pi }{12}})\text{ m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $\mathrm{0,628}\text{ m/s}$.