Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2024

Un foco sonoro $F$ se encuentra a una altura de 50 m sobre el suelo (ver figura). El nivel de intensidad en el punto $A$ es ${\beta }_A=90\text{ dB}$, mientras que en el punto $B$ es ${\beta }_B=70\text{ dB}$.

a) Calcule la potencia con la que emite el foco. [0,75 puntos]

b) Calcule la distancia $d$ entre el foco $F$ y el punto $B$. [0,75 puntos]

c) ¿Cuál sería el nivel de intensidad en el punto $A$ si se agrega otro foco de igual potencia a una altura de 25 metros sobre la vertical de $A$? [1 punto]

Dato: la mínima intensidad que puede percibir el oído humano es $I_0={10}^{-12}\text{ W}\mathrm{/}{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{foco.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$



El nivel de intensidad sonora está ligado a la intensidad por la escala logarítmica:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}\Rightarrow I=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}$

En el punto $A$, que está en la vertical del foco:

$I_A={10}^{-12}\cdot {10}^9={10}^{-3}{\text{W/m}}^2$

El foco es puntual y emite por igual en todas las direcciones, así que la potencia se reparte por una superficie esférica:

$I_A={\displaystyle \frac{P}{4\pi r_A^2}}\Rightarrow P=I_A\cdot 4\pi r_A^2$

La distancia $r_A$ es la altura del foco, 50 m:

$P={10}^{-3}\cdot 4\pi \cdot {50}^2$

$P=\mathrm{31,4}\text{ W}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{d}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{foco}}\mathit{F}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se repite el cálculo de la intensidad, ahora para 70 dB:

$I_B={10}^{-12}\cdot {10}^7={10}^{-5}{\text{W/m}}^2$

Y se despeja la distancia de la misma ley del cuadrado inverso, con la potencia ya conocida:

$d=\sqrt{{\displaystyle \frac{P}{4\pi I_B}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{31,4}}{4\pi \cdot {10}^{-5}}}}$

$d=500\text{ m}$

El punto $B$ está a $500\text{ m}$ del foco.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{agrega}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Las intensidades de dos focos independientes se suman, porque lo que se suma es la energía que llega por unidad de tiempo y de superficie.

El nuevo foco está sobre la misma vertical, a 25 m de $A$:

$I_2={\displaystyle \frac{P}{4\pi r_2^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{31,4}}{4\pi \cdot {25}^2}}=4\cdot {10}^{-3}{\text{W/m}}^2$

Se observa que, al reducirse la distancia a la mitad, la intensidad se multiplica por cuatro.

La intensidad total en $A$ es:

$I_T=I_A+I_2={10}^{-3}+4\cdot {10}^{-3}=5\cdot {10}^{-3}{\text{W/m}}^2$

Y el nivel de intensidad correspondiente:

${\beta }_T=10\log {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-3}}{{10}^{-12}}}=10\log (5\cdot {10}^9)$

${\beta }_T=\mathrm{97,0}\text{ dB}$

Multiplicar por cinco la intensidad solo sube el nivel en 7 dB, que es la consecuencia directa de que la escala sea logarítmica.