Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2023

La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa según el eje $x$ es $y(x,t)=\mathrm{0,2}\mathrm{sen}[2\pi (t+2x)]$ (unidades SI). Determine:

a) La amplitud de la onda, la longitud de onda y la frecuencia de la onda. [0,75 puntos]

b) La velocidad de propagación de la onda (módulo, dirección y sentido). [0,75 puntos]

c) La velocidad y aceleración máximas de vibración de los puntos de la cuerda. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Se compara la ecuación del enunciado con la expresión general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t\pm kx+{\phi }_0)$

Para poder identificar los términos se desarrolla el paréntesis:

$y(x,t)=\mathrm{0,2}\mathrm{sen}[2\pi (t+2x)]=\mathrm{0,2}\mathrm{sen}(2\pi t+4\pi x)$

Identificando término a término:

$A=\mathrm{0,2}\text{ m}$

$\omega =2\pi \text{ rad/s}\Rightarrow f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}=1\text{ Hz}$

$k=4\pi \text{ rad/m}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{4\pi }}=\mathrm{0,5}\text{ m}$

La onda tiene una amplitud de $\mathrm{0,2}\text{ m}$, una longitud de onda de $\mathrm{0,5}\text{ m}$ y una frecuencia de $1\text{ Hz}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido).}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de propagación se obtiene del cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}=\lambda f={\displaystyle \frac{2\pi }{4\pi }}$

$v=\mathrm{0,5}\text{ m/s}$

En cuanto al sentido, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, lo que significa que la onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$: para que la fase se mantenga constante, si $t$ aumenta, $x$ tiene que disminuir.

$\vec{v}=-\mathrm{0,5}\vec{\mathrm{ı}}\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple en la dirección perpendicular a la de propagación. Derivando respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t+kx)$

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t+kx)$

Los valores máximos se alcanzan cuando el coseno y el seno valen la unidad:

$v_{y,\max }=A\omega =\mathrm{0,2}\cdot 2\pi$

$v_{y,\max }=\mathrm{1,26}\text{ m/s}$

$a_{y,\max }=A{\omega }^2=\mathrm{0,2}\cdot (2\pi {)}^2$

$a_{y,\max }=\mathrm{7,90}{\text{m/s}}^2$

La velocidad máxima se da al pasar por la posición de equilibrio y la aceleración máxima en los extremos de la oscilación, como en todo movimiento armónico simple.