Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2023

Una persona está expuesta a un nivel de intensidad sonora constante de 80 dB.

a) ¿A qué intensidad de sonido corresponde ese nivel? [1 punto]

b) La fuente del sonido es puntual y está situada a 15 metros de la persona. Determine la potencia del sonido emitido por la fuente. [1 punto]

c) Si el tímpano de la persona tiene un área de $10{\text{mm}}^2$, ¿cuánta energía llegará a su tímpano en una hora con ese nivel de exposición? [0,5 puntos]

Dato: la mínima intensidad que puede percibir el oído humano es $I_0={10}^{-12}\text{ W}\mathrm{/}{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{nivel?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El nivel de intensidad sonora se define en una escala logarítmica que toma como referencia el umbral de audición:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}$





Despejando la intensidad:

$I=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{80\mathrm{/}10}$

$I={10}^{-12}\cdot {10}^8={10}^{-4}{\text{W/m}}^2$

Un nivel de 80 dB corresponde a una intensidad de ${10}^{-4}{\text{W/m}}^2$, cien millones de veces mayor que el umbral de audición.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{emitido}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una fuente puntual emite por igual en todas las direcciones, de modo que su potencia se reparte por la superficie de una esfera de radio igual a la distancia:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow P=I\cdot 4\pi r^2$

$P={10}^{-4}\cdot 4\pi \cdot {15}^2$

$P=\mathrm{0,283}\text{ W}$

La fuente emite con una potencia de unos $\mathrm{0,283}\text{ W}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mpano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext> </mtext><msup><mtext>mm</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nta}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{llegar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mpano}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{exposici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La intensidad es la potencia que atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la propagación, así que la potencia que recibe el tímpano es:

$P_t=I\cdot S$

Se expresa el área en unidades del Sistema Internacional:

$S=10{\text{mm}}^2=10\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2={10}^{-5}{\text{m}}^2$

$P_t={10}^{-4}\cdot {10}^{-5}={10}^{-9}\text{ W}$

Y la energía es esa potencia por el tiempo de exposición, expresado en segundos:

$E=P_t\cdot t={10}^{-9}\cdot 3600$

$E=\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-6}\text{ J}$

En una hora entera al tímpano llegan solo $\mathrm{3,6}\mu \text{J}$, lo que da idea de la extraordinaria sensibilidad del oído.