Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2022

La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ es $y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+\phi )$. En el instante $t=2\text{ s}$, el punto situado en $x=2\text{ cm}$ tiene una aceleración de $-18{\pi }^2\text{ cm}\cdot {\text{s}}^{-2}$ y un desplazamiento de $+2\text{ cm}$ en la dirección $y$. En el instante $t=0\text{ s}$, el punto situado en $x=0\text{ cm}$ tiene el desplazamiento máximo de valor $+3\text{ cm}$. Determine:

a) La amplitud y la fase inicial de la onda. [1 punto]

b) La frecuencia angular (pulsación) y el número de onda. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



La amplitud es la elongación máxima que alcanza cualquier punto de la cuerda. El enunciado dice que en $t=0$ el punto $x=0$ tiene el desplazamiento máximo, y que ese desplazamiento vale $+3\text{ cm}$:

$A=3\text{ cm}=\mathrm{0,03}\text{ m}$

Para la fase inicial se impone esa misma condición sobre la ecuación de la onda:

$y(0,0)=A\cos \phi =A\Rightarrow \cos \phi =1$

$\phi =0\text{ rad}$

La onda queda, por tanto, en la forma $y(x,t)=3\cos (\omega t-kx)$, con $y$ y $x$ en centímetros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{(pulsaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple, en el que la aceleración y la elongación están ligadas por:

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-{\omega }^{2}y$

Se sustituyen los datos del punto $x=2\text{ cm}$ en el instante $t=2\text{ s}$:

$-18{\pi }^2=-{\omega }^2\cdot 2\Rightarrow {\omega }^2=9{\pi }^2$

$\omega =3\pi \text{ rad/s}=\mathrm{9,42}\text{ rad/s}$

La frecuencia correspondiente es:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{3\pi }{2\pi }}=\mathrm{1,5}\text{ Hz}$

Para el número de onda se usa el otro dato del mismo punto, su elongación:

$y(2\text{ cm},2\text{ s})=3\cos (3\pi \cdot 2-k\cdot 2)=2$

$\cos (6\pi -2k)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Y como $\cos (6\pi -\alpha )=\cos \alpha$, la ecuación se reduce a:

$\cos (2k)={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow 2k=\arccos {\displaystyle \frac{2}{3}}=\mathrm{0,841}\text{ rad}$

$k=\mathrm{0,4205}\text{ rad/cm}=\mathrm{42,05}\text{ rad/m}$

De ahí sale además la longitud de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{42,05}}}=\mathrm{0,149}\text{ m}$

Se toma la determinación principal del arcocoseno, que es la única que da un número de onda positivo compatible con una onda que avanza hacia las $x$ crecientes.