Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2022

En una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación, expresada en unidades del S.I., viene dada por la ecuación

$y(x,t)=\mathrm{0,2}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

a) Halle la amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda. [1 punto]

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda, especificando dirección y sentido de propagación. [0,5 puntos]

c) Determine la velocidad transversal del punto de la cuerda situado en $x=3\text{ m}$, en función del tiempo. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Se compara la ecuación del enunciado con la expresión general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\cos (\omega t\pm kx+{\phi }_0)$

Identificando término a término:

$A=\mathrm{0,2}\text{ m}$

$\omega ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad/s}\Rightarrow T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\pi \mathrm{/}6}}=12\text{ s}$

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{12}}=\mathrm{0,083}\text{ Hz}$

$k={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{ rad/m}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\pi \mathrm{/}3}}=6\text{ m}$

La onda tiene $\mathrm{0,2}\text{ m}$ de amplitud, un periodo de $12\text{ s}$ y una longitud de onda de $6\text{ m}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{especificando}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}=\lambda f={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{/}6}{\pi \mathrm{/}3}}$

$v=\mathrm{0,5}\text{ m/s}$

Los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, de modo que la onda se propaga en la dirección del eje $X$ y en su sentido negativo: para mantener constante la fase, si $t$ aumenta, $x$ debe disminuir.

$\vec{v}=-\mathrm{0,5}\vec{\mathrm{ı}}\text{ m/s}$



La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$A\omega =\mathrm{0,2}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=\mathrm{0,105}\text{ m/s}$

Se sustituye la posición del punto pedido:

${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot 3+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$

$v_y(3;t)=-\mathrm{0,105}\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t+{\displaystyle \frac{5\pi }{4}})\text{ m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $\mathrm{0,105}\text{ m/s}$.