Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2020

Escriba la ecuación de onda de una onda armónica transversal que se propaga hacia la derecha, si tiene 6 cm de amplitud, una velocidad de propagación de 40 m/s y una frecuencia 2 Hz, teniendo en cuenta que en el momento inicial la elongación en $x=0$ es 3 cm.

a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]

b) Obtenga la longitud de onda. [0,5 puntos]

c) Distancia entre dos puntos con una diferencia de fase de $\pi \mathrm{/}2$ radianes. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Se calculan primero los parámetros de la onda a partir de los datos, en unidades del Sistema Internacional:

$A=6\text{ cm}=\mathrm{0,06}\text{ m}$

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 2=4\pi \text{ rad/s}$

La longitud de onda sale de la velocidad de propagación y la frecuencia:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{40}{2}}=20\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{20}}=\mathrm{0,1}\pi \text{ rad/m}$

Como la onda se propaga hacia la derecha, es decir, hacia las $x$ crecientes, los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

Se impone la condición inicial del enunciado:

$y(0,0)=\mathrm{0,06}\cos {\phi }_0=\mathrm{0,03}\Rightarrow \cos {\phi }_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\phi }_0=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{ rad}$

El enunciado no dice si en ese instante el punto sube o baja, así que las dos fases son igualmente válidas. Tomando la positiva:

$y(x,t)=\mathrm{0,06}\cos (4\pi t-\mathrm{0,1}\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La longitud de onda es la distancia que recorre la onda en un periodo, y ya se ha obtenido en el apartado anterior:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{40}{2}}$

$\lambda =20\text{ m}$



Dos puntos separados una distancia $\mathrm{\Delta }x$ en un mismo instante tienen una diferencia de fase:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x\Rightarrow \mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{k}}={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{/}2}{\mathrm{0,1}\pi }}$

$\mathrm{\Delta }x=5\text{ m}$

El resultado era previsible: una diferencia de fase de $\pi \mathrm{/}2$ es la cuarta parte de un ciclo completo, y la cuarta parte de la longitud de onda son $5\text{ m}$.