Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2025

Por una cuerda se propaga una onda cuya función matemática, en unidades SI, viene dada por:

$y(x,t)=\mathrm{0,05}\cos [2\pi (4x-5t)]$

a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]

b) Calcule la elongación de un punto de la cuerda situado en $x=1\mathrm{/}2$ m en el instante $t=11\mathrm{/}30$ s. [0,5 puntos]

c) Calcule la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se compara la función del enunciado con la ecuación general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\cos (kx-\omega t)$

$y(x,t)=\mathrm{0,05}\cos (8\pi x-10\pi t)$

El signo negativo entre los dos términos de la fase indica que la onda se propaga hacia las $x$ crecientes. Identificando términos:

$A=\mathrm{0,05}\text{ m};k=8\pi \text{ rad/m};\omega =10\pi \text{ rad/s}$

De la constante de propagación se obtiene la longitud de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{8\pi }}=\mathrm{0,25}\text{ m}$

De la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{10\pi }{2\pi }}=5\text{ Hz}$

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}=\mathrm{0,2}\text{ s}$

Y la velocidad de propagación:

$v=\lambda f=\mathrm{0,25}\cdot 5=\mathrm{1,25}\text{ m/s}$

La onda avanza hacia las $x$ positivas a $\mathrm{1,25}\text{ m/s}$, con una amplitud de $5\text{ cm}$, una longitud de onda de $25\text{ cm}$ y un periodo de $\mathrm{0,2}\text{ s}$.



Basta sustituir la posición y el instante en la función de onda:

$y({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{11}{30}})=\mathrm{0,05}\cos \left[2\pi (4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}-5\cdot {\displaystyle \frac{11}{30}})\right]$

$y=\mathrm{0,05}\cos \left[2\pi (2-{\displaystyle \frac{11}{6}})\right]=\mathrm{0,05}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

$y=\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,025}\text{ m}$

En ese instante el punto está $\mathrm{2,5}\text{ cm}$ por encima de la posición de equilibrio, a la mitad de la amplitud.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{transversal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{instante.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición del punto:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,05}\cdot 10\pi \mathrm{sen}(8\pi x-10\pi t)$

$v_y=\mathrm{0,5}\pi \mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=\mathrm{0,5}\pi \cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$v_y=\mathrm{1,36}\text{ m/s}$

El signo positivo indica que en ese instante el punto se dirige hacia arriba, con una rapidez de $\mathrm{1,36}\text{ m/s}$, muy distinta de la velocidad con la que se propaga la onda, que es de $\mathrm{1,25}\text{ m/s}$ y lleva la dirección del eje $X$.