Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2024

Una sala de fiestas dispone de una pista de baile circular con 6 altavoces idénticos que están colocados simétricamente alrededor de la pista y todos ellos a la misma distancia $d=10\text{ m}$ de su centro. La sonoridad percibida por un bailarín situado en el centro de la pista de baile es de 120 dB.

a) Determine la potencia de cada uno de los altavoces de la sala de fiestas. [1 punto]

b) Si durante la actuación musical se estropean 3 altavoces, calcule el nuevo nivel de intensidad sonora que percibe el bailarín situado en el centro de la pista de baile. [1 punto]

Dato: $I_0={10}^{-12}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{altavoces}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sala}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fiestas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El nivel de intensidad sonora se define como:

$\beta =10\log \frac{I}{I_0}$

De esta expresión se despeja la intensidad total que llega al centro de la pista:

$I_{\text{total}}=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}={10}^{-12}\cdot {10}^{12}$

$I_{\text{total}}=1\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$





Los seis altavoces son idénticos y están a la misma distancia del centro, así que los seis aportan la misma intensidad:

$I_1=\frac{I_{\text{total}}}{6}=\frac{1}{6}=\mathrm{0,167}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$

Cada altavoz se comporta como un foco puntual que reparte su potencia sobre la superficie de una esfera de radio $d$:

$I_1=\frac{P}{4\pi d^2}\Rightarrow P=I_1\cdot 4\pi d^2$

$P=\frac{1}{6}\cdot 4\pi \cdot {10}^2=\mathrm{209,4}\text{ W}$

Cada altavoz emite con una potencia de $\mathrm{2,09}\cdot {10}^2\text{ W}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{musical}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estropean}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{altavoces,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{percibe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{bailar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pista}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{baile.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Con solo tres altavoces funcionando, la intensidad que llega al centro es la mitad de la anterior:

$I^{\mathrm{\prime }}=3I_1=3\cdot \frac{1}{6}=\mathrm{0,5}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$

${\beta }^{\mathrm{\prime }}=10\log \frac{I^{\mathrm{\prime }}}{I_0}=10\log \frac{\mathrm{0,5}}{{10}^{-12}}=10\log (5\cdot {10}^{11})$

${\beta }^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{117,0}\text{ dB}$

Al estropearse la mitad de los altavoces el nivel de intensidad sonora solo baja $3\text{ dB}$, porque la escala es logarítmica: reducir la intensidad a la mitad supone restar $10\log 2=\mathrm{3,01}\text{ dB}$.