Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2024

Una onda transversal se propaga por una cuerda tensa según el sentido positivo del eje $X$ con una velocidad de $5\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. En el instante inicial la elongación es nula en el origen de coordenadas y su velocidad de oscilación de $20\pi \text{ cm}\cdot {\text{s}}^{-1}$ en sentido positivo. Si la distancia de separación mínima entre dos puntos de la cuerda que oscilan en fase es de 40 cm, calcule:

a) la amplitud, la frecuencia y la expresión matemática de la onda. [1 punto]

b) el valor máximo de la aceleración transversal de los puntos de la cuerda, indicando en qué instante alcanza ese valor por primera vez la aceleración de un punto situado a un cuarto de longitud de onda a la derecha del origen de coordenadas. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase es, por definición, la longitud de onda:

$\lambda =40\text{ cm}=\mathrm{0,40}\text{ m}$

Con la velocidad de propagación se obtienen la frecuencia, la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\lambda f\Rightarrow f=\frac{v}{\lambda }=\frac{5}{\mathrm{0,40}}=\mathrm{12,5}\text{ Hz}$

$\omega =2\pi f=25\pi \text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}=\mathrm{78,5}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$

$k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{\mathrm{0,40}}=5\pi \text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}=\mathrm{15,7}\text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}$

En el instante inicial la elongación del origen es nula, así que ese punto pasa por la posición de equilibrio y su velocidad de oscilación es, en ese momento, la máxima:

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega \Rightarrow A=\frac{v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{\omega }=\frac{\mathrm{0,2}\pi }{25\pi }$

$A=8\cdot {10}^{-3}\text{ m}=8\text{ mm}$

La onda avanza en el sentido positivo del eje $X$, y como en el origen y en el instante inicial la elongación es nula con velocidad positiva, la fase inicial es nula:

$y(0,0)=A\text{sen}{\phi }_0=0\text{ y }{v}_y(0,0)=A\omega \cos {\phi }_0>0\Rightarrow {\phi }_0=0$

$y(x,t)=8\cdot {10}^{-3}\text{sen}(25\pi t-5\pi x)\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{transversal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La aceleración transversal es la segunda derivada de la elongación respecto del tiempo:

$a_y=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}=-A{\omega }^2\text{sen}(\omega t-kx)=-{\omega }^{2}y$

Su valor máximo se alcanza en los extremos de la oscilación, donde $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=A$:

$a_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A{\omega }^2=8\cdot {10}^{-3}\cdot (25\pi {)}^2$

$a_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{49,3}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

El punto pedido está en $x=\lambda \mathrm{/}4=\mathrm{0,10}\text{ m}$, y su fase es:

$\omega t-kx=25\pi t-5\pi \cdot \mathrm{0,10}=25\pi t-\frac{\pi }{2}$

En el instante inicial esa fase vale $-\pi \mathrm{/}2$, de modo que $\text{sen}(-\pi \mathrm{/}2)=-1$ y ese punto está ya en el extremo inferior de su oscilación:

$y(\mathrm{0,10},0)=-A{a}_y(\mathrm{0,10},0)=+A{\omega }^2=\mathrm{49,3}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Es decir, la aceleración de ese punto alcanza su valor máximo ya en $t=0\text{ s}$: la perturbación tarda un cuarto de período en recorrer un cuarto de longitud de onda, y en ese instante el punto reproduce lo que hacía el origen un cuarto de período antes.

El siguiente instante en que su aceleración vuelve a tener ese módulo máximo, ahora dirigido hacia abajo, es medio período después:

$25\pi t-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{1}{25}=\mathrm{0,04}\text{ s}$

que en efecto coincide con $T\mathrm{/}2=1\mathrm{/}(2\cdot \mathrm{12,5})=\mathrm{0,04}\text{ s}$.