Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2022

Una onda transversal se propaga por una cuerda tensa en el sentido positivo del eje $X$, según la ecuación $y(x,t)=\mathrm{0,75}\text{sen}(5\pi x-10\pi t+\pi \mathrm{/}4)$, expresada en unidades del S.I. Determine:

a) La longitud de onda, frecuencia, amplitud y velocidad de propagación de la onda. [1 punto]

b) La velocidad de vibración y aceleración en el punto de la cuerda $x=5\text{ m}$, en el instante $t=2\text{ s}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\text{sen}(kx-\omega t+{\phi }_0)$

$y(x,t)=\mathrm{0,75}\text{sen}(5\pi x-10\pi t+\pi \mathrm{/}4)$

Identificando términos:

$A=\mathrm{0,75}\text{ m}k=5\pi \text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}\omega =10\pi \text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$

De donde:

$\lambda =\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{5\pi }=\mathrm{0,4}\text{ m}$

$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{10\pi }{2\pi }=5\text{ Hz}$

$v=\frac{\omega }{k}=\frac{10\pi }{5\pi }=2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La onda tiene una amplitud de $\mathrm{0,75}\text{ m}$, una longitud de onda de $\mathrm{0,4}\text{ m}$, una frecuencia de $5\text{ Hz}$ y se propaga a $2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Se comprueba que $v=\lambda f=\mathrm{0,4}\cdot 5=2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.



La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}=-\mathrm{0,75}\cdot 10\pi \cos (5\pi x-10\pi t+\pi \mathrm{/}4)$

La fase en el punto y el instante pedidos vale:

$5\pi \cdot 5-10\pi \cdot 2+\frac{\pi }{4}=25\pi -20\pi +\frac{\pi }{4}=5\pi +\frac{\pi }{4}$

$\cos (5\pi +\frac{\pi }{4})=-\cos \frac{\pi }{4}=-\mathrm{0,707}$

$v_y=-\mathrm{7,5}\pi \cdot (-\mathrm{0,707})=\mathrm{16,66}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Para la aceleración se aprovecha que en un movimiento armónico simple es proporcional y opuesta a la elongación:

$a_y=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}=-{\omega }^{2}y$

La elongación en ese punto y ese instante es:

$y=\mathrm{0,75}\text{sen}(5\pi +\frac{\pi }{4})=\mathrm{0,75}\cdot (-\mathrm{0,707})=-\mathrm{0,530}\text{ m}$

$a_y=-(10\pi {)}^2\cdot (-\mathrm{0,530})$

$a_y=\mathrm{523,4}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

El punto se mueve hacia arriba a $\mathrm{16,66}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ con una aceleración también positiva de $\mathrm{523,4}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$: está por debajo de la posición de equilibrio y volviendo hacia ella.