Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2021

Una onda transversal sinusoidal con una amplitud de $\mathrm{2,5}\text{ mm}$ y una longitud de onda de $\mathrm{1,8}\text{ m}$ se propaga de izquierda a derecha a lo largo de una cuerda horizontal muy larga con una velocidad de $36\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$. Tome como origen de coordenadas el extremo izquierdo de la cuerda. En el instante $t=0$, el extremo izquierdo de la cuerda se encuentra en la posición de máximo desplazamiento hacia arriba (positivo).

a) Determine la frecuencia, la frecuencia angular y el número de onda de la onda transversal. [1 punto]

b) Determine el valor máximo de la velocidad transversal para cualquier punto de la cuerda (velocidad máxima de vibración). [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{transversal.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



La velocidad de propagación de una onda armónica es el producto de su longitud de onda por su frecuencia, de donde:

$v=\lambda f\Rightarrow f=\frac{v}{\lambda }=\frac{36}{\mathrm{1,8}}$

$f=20\text{ Hz}$

La frecuencia angular y el número de onda se obtienen directamente de la frecuencia y de la longitud de onda:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 20$

$\omega =\mathrm{125,66}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}=40\pi \text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$

$k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{\mathrm{1,8}}$

$k=\mathrm{3,49}\text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}$

Como comprobación, $v=\omega \mathrm{/}k=\mathrm{125,66}\mathrm{/}\mathrm{3,49}=36\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, la velocidad del enunciado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{transversal}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{(velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n).}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple de amplitud $A$ y frecuencia angular $\omega$. La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}=A\omega \cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

y su valor máximo se alcanza cuando el coseno vale la unidad, es decir, cuando el punto pasa por la posición de equilibrio:

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega =\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{125,66}$

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{0,314}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad máxima de vibración es de $\mathrm{0,314}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, más de cien veces menor que la velocidad con la que avanza la onda por la cuerda, $36\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Son dos velocidades de naturaleza distinta: la primera es la de los puntos del medio, que solo suben y bajan, y la segunda la del avance de la perturbación.