Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2023

Una onda armónica transversal de frecuencia $f=\mathrm{0,25}\text{ Hz}$, longitud de onda $\lambda =2\text{ m}$ y amplitud de vibración de $\mathrm{0,5}\text{ m}$, se propaga en el sentido positivo del eje $X$. Si en el punto $x=0$ se cumple que en el instante inicial $t=0\text{ s}$ la elongación de la onda es máxima, determine:

a) La velocidad de propagación y el número de ondas. [0,5 puntos]

b) La función que representa dicha onda. [1 punto]

c) La velocidad máxima de oscilación de cualquier punto alcanzado por la onda. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ondas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es el producto de su longitud de onda por su frecuencia:

$v=\lambda f=2\cdot \mathrm{0,25}$

$v=\mathrm{0,5}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

El número de onda mide cuántos radianes de fase avanza la onda por metro:

$k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{2}$

$k=\pi \text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}=\mathrm{3,14}\text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



La onda avanza en el sentido positivo del eje $X$, de modo que su función depende de $(\omega t-kx)$. La frecuencia angular es:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot \mathrm{0,25}=\frac{\pi }{2}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}=\mathrm{1,57}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La condición inicial dice que en $x=0$ y $t=0$ la elongación es máxima, lo que corresponde a una función coseno sin desfase:

$y(0,0)=A\Rightarrow y(x,t)=A\cos (\omega t-kx)$

$y(x,t)=\mathrm{0,5}\cos (\frac{\pi }{2}t-\pi x)\text{ m}$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{alcanzado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}=-A\omega \text{sen}(\omega t-kx)$

Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$, es decir, al pasar el punto por la posición de equilibrio:

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega =\mathrm{0,5}\cdot \frac{\pi }{2}$

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{0,785}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad máxima de oscilación es de $\mathrm{0,785}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. No debe confundirse con la velocidad de propagación, $\mathrm{0,5}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$: una es la de los puntos del medio, que solo suben y bajan, y la otra la del avance de la perturbación.