Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2023

Dos altavoces que se encuentran separados una distancia de 8 m emiten sonido con sendas potencias de 100 W y 120 W, respectivamente.

a) Determine el nivel de intensidad sonora total que mide un técnico de sonido con un sonómetro en un punto situado a mitad de distancia entre ambos altavoces. [1 punto]

b) ¿En qué puntos de la línea que une ambos altavoces se mediría la misma sonoridad para cada altavoz? [1 punto]

Dato: $I_0={10}^{-12}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cnico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{son}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{altavoces.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cada altavoz se comporta como un foco puntual y reparte su potencia sobre la superficie de una esfera:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

El punto medio está a $r=4\text{ m}$ de cada altavoz:

$I_1=\frac{100}{4\pi \cdot 4^2}=\mathrm{0,497}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$

$I_2=\frac{120}{4\pi \cdot 4^2}=\mathrm{0,597}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$



Lo que se suma son las intensidades, no los niveles sonoros:

$I_{\text{total}}=I_1+I_2=\mathrm{1,094}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$

$\beta =10\log \frac{I_{\text{total}}}{I_0}=10\log \frac{\mathrm{1,094}}{{10}^{-12}}$

$\beta =\mathrm{120,4}\text{ dB}$

El sonómetro marca $\mathrm{120,4}\text{ dB}$ en el punto medio, un nivel que está en el umbral del dolor.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{altavoces}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{medir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{sonoridad}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{altavoz?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que las dos sonoridades sean iguales equivale a que lo sean las dos intensidades, porque el nivel es una función creciente de la intensidad:

$\frac{P_1}{4\pi r_1^2}=\frac{P_2}{4\pi r_2^2}\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=\sqrt{\frac{P_2}{P_1}}=\sqrt{\frac{120}{100}}=\mathrm{1,095}$

i) Puntos situados entre los dos altavoces, donde $r_1+r_2=8\text{ m}$:

$r_1+\mathrm{1,095}{r}_1=8\Rightarrow r_1=\frac{8}{\mathrm{2,095}}=\mathrm{3,82}\text{ m}$

$r_2=8-\mathrm{3,82}=\mathrm{4,18}\text{ m}$

ii) Puntos de la misma recta pero fuera del segmento. Solo pueden estar del lado del altavoz menos potente, donde $r_2-r_1=8\text{ m}$:

$\mathrm{1,095}{r}_1-r_1=8\Rightarrow r_1=\frac{8}{\mathrm{0,095}}=\mathrm{83,8}\text{ m}$

Sobre la línea que une los altavoces hay, por tanto, un punto a $\mathrm{3,82}\text{ m}$ del primero y $\mathrm{4,18}\text{ m}$ del segundo —algo más cerca del altavoz de menos potencia, como cabía esperar— y otro muy alejado, a $\mathrm{83,8}\text{ m}$ del primero por el lado opuesto al segundo.