Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2024

Una onda transversal se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje $X$ con una velocidad de $4\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. La onda tiene una amplitud de $\mathrm{0,8}\text{ m}$ y una frecuencia angular de $\pi \mathrm{/}4\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Si en el instante $t=0\text{ s}$ el punto situado en el origen de coordenadas tiene aceleración máxima y positiva, calcule:

a) la expresión matemática de la onda. [1 punto]

b) la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situado en $x=2\text{ m}$ en el instante $t=10\text{ s}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una onda armónica transversal que avanza en el sentido positivo del eje $X$ se escribe:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

Del enunciado se conocen la amplitud y la frecuencia angular:

$A=\mathrm{0,8}\text{ m}\omega =\frac{\pi }{4}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$

y de la relación entre la velocidad de propagación y el número de onda:

$v=\frac{\omega }{k}\Rightarrow k=\frac{\omega }{v}=\frac{\pi \mathrm{/}4}{4}=\frac{\pi }{16}\text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}$



Con ello, la longitud de onda y la frecuencia valen:

$\lambda =\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{\pi \mathrm{/}16}=32\text{ m}f=\frac{\omega }{2\pi }=\mathrm{0,125}\text{ Hz}$

Falta la fase inicial. En un movimiento armónico simple la aceleración es:

$a_y=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}=-{\omega }^{2}y$

de modo que la aceleración es máxima y positiva cuando la elongación es máxima y negativa, es decir, cuando $y=-A$. Imponiendo esa condición en el origen y en el instante inicial:

$y(0,0)=A\text{sen}{\phi }_0=-A\Rightarrow \text{sen}{\phi }_0=-1$

${\phi }_0=-\frac{\pi }{2}\text{ rad}$

La expresión de la onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=\mathrm{0,8}\text{sen}(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{16}x-\frac{\pi }{2})\text{ m}$



La velocidad de oscilación de un punto es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con $x$ fijo:

$v_y=\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}=A\omega \cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

$v_y=\mathrm{0,8}\cdot \frac{\pi }{4}\cos (\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{16}x-\frac{\pi }{2})$

Sustituyendo $x=2\text{ m}$ y $t=10\text{ s}$:

$v_y=\mathrm{0,628}\cos (\frac{10\pi }{4}-\frac{2\pi }{16}-\frac{\pi }{2})=\mathrm{0,628}\cos \left(\mathrm{1,875}\pi \right)$

$v_y=\mathrm{0,628}\cdot \mathrm{0,924}=\mathrm{0,58}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad de oscilación de ese punto en ese instante es de $\mathrm{0,58}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, positiva y algo menor que la velocidad máxima de vibración, que vale $A\omega =\mathrm{0,63}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.