Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2026

Por una cuerda se propaga una onda cuya función matemática, en unidades SI, viene dada por:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\mathrm{sen}\left[\pi ({\displaystyle \frac{4x}{3}}+200t)\right]$

a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]

b) Calcule la elongación de un punto de la cuerda situado en $x=3\mathrm{/}4$ m en el instante $t=1\mathrm{/}240$ s. [0,5 puntos]

c) Calcule la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se compara la función del enunciado con la ecuación general de una onda armónica que se propaga por una cuerda:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(kx+\omega t)$

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}x+200\pi t)$

El signo positivo entre los dos términos de la fase indica que la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$. Identificando términos:

$A=\mathrm{0,02}\text{ m};k={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\text{ rad/m};\omega =200\pi \text{ rad/s}$

De la constante de propagación se obtiene la longitud de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{4\pi \mathrm{/}3}}=\mathrm{1,5}\text{ m}$

De la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{200\pi }{2\pi }}=100\text{ Hz}$

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{100}}=\mathrm{0,01}\text{ s}$

Y la velocidad de propagación:

$v=\lambda f=\mathrm{1,5}\cdot 100=150\text{ m/s}$

La onda avanza hacia las $x$ negativas a $150\text{ m/s}$, con una amplitud de $2\text{ cm}$, una longitud de onda de $\mathrm{1,5}\text{ m}$ y un periodo de $10\text{ ms}$.



Basta sustituir la posición y el instante en la función de onda:

$y({\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{1}{240}})=\mathrm{0,02}\mathrm{sen}\left[\pi ({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}+200\cdot {\displaystyle \frac{1}{240}})\right]$

$y=\mathrm{0,02}\mathrm{sen}\left[\pi (1+{\displaystyle \frac{5}{6}})\right]=\mathrm{0,02}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{11\pi }{6}}\right)$

$y=\mathrm{0,02}\cdot (-\mathrm{0,5})=-\mathrm{0,01}\text{ m}$

En ese instante el punto está $1\text{ cm}$ por debajo de la posición de equilibrio, es decir, a la mitad de la amplitud.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{transversal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{instante.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad transversal de un punto de la cuerda es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,02}\cdot 200\pi \cos \left[\pi ({\displaystyle \frac{4x}{3}}+200t)\right]$

$v_y=4\pi \cos \left({\displaystyle \frac{11\pi }{6}}\right)=4\pi \cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$v_y=\mathrm{10,9}\text{ m/s}$

La velocidad sale positiva, así que en ese instante el punto sube hacia la posición de equilibrio con una rapidez de $\mathrm{10,9}\text{ m/s}$. No debe confundirse con la velocidad de propagación de la onda, que es de $150\text{ m/s}$ y va en la dirección del eje $X$.