Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2020

Una onda armónica transversal que se propaga hacia la parte positiva del eje $x$ con 5 cm de amplitud, una longitud de onda de 2 m y un periodo de 0,3 s. Sabiendo que en el momento inicial la elongación en $x=0$ es 5 cm.

a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]

b) Obtenga la velocidad de propagación. [0,5 puntos]

c) Desfase entre dos puntos separados 2 m. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Se calculan los parámetros de la onda a partir de los datos, en unidades del Sistema Internacional:

$A=5\text{ cm}=\mathrm{0,05}\text{ m}$

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,3}}}=\mathrm{20,9}\text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \text{ rad/m}$

Como la onda se propaga hacia la parte positiva del eje $x$, los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

Se impone la condición inicial: en $t=0$ la elongación en $x=0$ vale 5 cm, que es justamente la amplitud, así que el punto está en un extremo de su oscilación:

$y(0,0)=\mathrm{0,05}\cos {\phi }_0=\mathrm{0,05}\Rightarrow \cos {\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0=0\text{ rad}$

La ecuación de onda es, por tanto:

$y(x,t)=\mathrm{0,05}\cos (\mathrm{20,9}t-\pi x)\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la longitud de onda y el periodo:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,3}}}$

$v=\mathrm{6,67}\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Desfase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Dos puntos separados una distancia $\mathrm{\Delta }x$ en un mismo instante tienen una diferencia de fase:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=\pi \cdot 2$

$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi \text{ rad}$

Un desfase de $2\pi$ radianes equivale a ninguno: los dos puntos oscilan en fase. Era previsible, porque están separados exactamente una longitud de onda.