Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2021

Una onda armónica transversal de 6 milímetros de amplitud, 0,025 metros de longitud de onda y 50 milisegundos de periodo, se propaga hacia la parte positiva del eje $x$. Inicialmente, en el punto $x=0$, la elongación es nula y la velocidad transversal positiva.

a) Escriba la ecuación de onda. [1 punto]

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. [0,5 puntos]

c) Calcule la diferencia de fase entre dos puntos separados 1 centímetro. [0,5 puntos]

d) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en $x=2$ centímetros, en función del tiempo. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Se pasan primero los datos a unidades del Sistema Internacional:

$A=6\text{ mm}=6\cdot {10}^{-3}\text{ m}\lambda =\mathrm{0,025}\text{ m}T=50\text{ ms}=\mathrm{0,05}\text{ s}$

Y se calculan la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,05}}}=40\pi \text{ rad/s}=\mathrm{125,7}\text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,025}}}=80\pi \text{ rad/m}=\mathrm{251,3}\text{ rad/m}$

Como la onda se propaga hacia la parte positiva del eje $x$, los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

La primera condición inicial dice que la elongación en $x=0$ es nula:

$y(0,0)=A\mathrm{sen}{\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=0\acute{\text{o}}{\phi }_0=\pi$

Y la segunda, que la velocidad transversal es positiva, decide entre las dos:

$v_y(0,0)=A\omega \cos {\phi }_0>0\Rightarrow \cos {\phi }_0>0\Rightarrow {\phi }_0=0\text{ rad}$

La ecuación de onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=6\cdot {10}^{-3}\mathrm{sen}(40\pi t-80\pi x)\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la longitud de onda y el periodo:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,025}}{\mathrm{0,05}}}$

$v=\mathrm{0,5}\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{cent}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{metro.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos puntos separados una distancia $\mathrm{\Delta }x$ en un mismo instante tienen una diferencia de fase:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=80\pi \cdot \mathrm{0,01}$

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{0,8}\pi =\mathrm{2,51}\text{ rad}$

Un centímetro no es un múltiplo entero de la longitud de onda, de 2,5 cm, así que los dos puntos no oscilan en fase.



La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t-kx)$

$A\omega =6\cdot {10}^{-3}\cdot 40\pi =\mathrm{0,754}\text{ m/s}$

Se sustituye la posición del punto, $x=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}$:

$80\pi \cdot \mathrm{0,02}=\mathrm{1,6}\pi$

$v_y(\mathrm{0,02};t)=\mathrm{0,754}\cos (40\pi t-\mathrm{1,6}\pi )\text{ m/s}$