Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2023

En una cuerda se propaga una onda armónica descrita por la función

$y(x,t)=a\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(bt-{\displaystyle \frac{2\pi }{c}}x)$

a) ¿Qué magnitudes físicas representan $a$, $b$ y $c$ y cuáles son sus unidades en el Sistema Internacional? [1 punto]

b) Suponiendo que los parámetros $a$, $b$ y $c$ son números positivos, ¿qué información aporta sobre la onda el signo negativo de la expresión? [0,75 puntos]

c) ¿Qué magnitud física representa el cociente $bc\mathrm{/}2\pi$? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{magnitudes}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sicas}}\mathbf{\text{representan}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathit{b}\mathbf{\text{y}}\mathit{c}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Sistema}}\mathbf{\text{Internacional?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Se compara la ecuación del enunciado con la expresión general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

Identificando término a término:

$a=A$ es la amplitud, es decir, la elongación máxima de cada punto de la cuerda respecto de su posición de equilibrio. Se mide en metros.

$b=\omega$ es la frecuencia angular o pulsación, que indica lo rápido que oscila cada punto. Se mide en radianes por segundo.

$c=\lambda$ es la longitud de onda, la distancia entre dos puntos consecutivos que oscilan en fase. Se mide en metros, ya que el número de onda es:

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{c}}\left[\text{rad/m}\right]$

y para que el argumento del coseno sea adimensional, $c$ ha de tener unidades de longitud.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathit{b}\mathbf{\text{y}}\mathit{c}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros}}\mathbf{\text{positivos,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{aporta}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{negativo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El signo negativo del término en $x$ indica el sentido en que se propaga la onda.

La fase de la onda es $\varphi =bt-{\displaystyle \frac{2\pi }{c}}x$. Un punto del perfil que se mueva con la onda mantiene su fase constante, así que si el tiempo aumenta, para compensar el aumento de $bt$ también tiene que aumentar $x$.

Por tanto, la onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$, es decir, hacia la derecha. Si los dos términos llevaran el mismo signo, la onda avanzaría hacia las $x$ negativas.



Se sustituye cada parámetro por la magnitud que representa:

${\displaystyle \frac{bc}{2\pi }}={\displaystyle \frac{\omega \lambda }{2\pi }}$

Y como la frecuencia angular está ligada a la frecuencia por $\omega =2\pi f$:

${\displaystyle \frac{bc}{2\pi }}={\displaystyle \frac{2\pi f\lambda }{2\pi }}=\lambda f=v$

El cociente es la velocidad de propagación de la onda, que se mide en metros por segundo.

También puede verse dimensionalmente: $b$ se mide en ${\text{s}}^{-1}$ y $c$ en metros, así que su producto tiene unidades de $\text{m/s}$.