Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2023

Una onda armónica transversal (ver figura) se propaga con velocidad $v=40\text{ cm}\mathrm{/}\text{s}$ en el sentido negativo del eje $x$. Inicialmente, en el punto $x=0$, la elongación es nula y la velocidad transversal positiva.

a) Determine la amplitud, la longitud de onda y la frecuencia de la onda. [1 punto]

b) Determine la expresión de la función de onda. [0,5 puntos]

c) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en $x=5$ centímetros, en función del tiempo. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La amplitud y la longitud de onda se leen directamente de la figura del enunciado, que es una fotografía del perfil de la cuerda en un instante:

$A=6\text{ cm}=\mathrm{0,06}\text{ m}$

$\lambda =20\text{ cm}=\mathrm{0,20}\text{ m}$

La frecuencia se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación y la longitud de onda, pasando antes la velocidad a unidades del Sistema Internacional:

$v=40{\displaystyle \frac{\text{cm}}{\text{s}}}=\mathrm{0,40}\text{ m/s}$

$v=\lambda f\Rightarrow f={\displaystyle \frac{v}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,40}}{\mathrm{0,20}}}$

$f=2\text{ Hz}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega =2\pi f=4\pi \text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,20}}}=10\pi \text{ rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

La primera condición inicial dice que la elongación en $x=0$ es nula:

$y(0,0)=A\mathrm{sen}{\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=0\acute{\text{o}}{\phi }_0=\pi$

La segunda decide entre ambas, porque la velocidad transversal ha de ser positiva:

$v_y=A\omega \cos (\omega t+kx+{\phi }_0)$

$v_y(0,0)=A\omega \cos {\phi }_0>0\Rightarrow \cos {\phi }_0>0\Rightarrow {\phi }_0=0\text{ rad}$

La función de onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}(4\pi t+10\pi x)\text{ m}$



La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t+kx)=\mathrm{0,06}\cdot 4\pi \cos (4\pi t+10\pi x)$

Se sustituye la posición del punto, $x=5\text{ cm}=\mathrm{0,05}\text{ m}$:

$10\pi \cdot \mathrm{0,05}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$v_y(\mathrm{0,05};t)=\mathrm{0,754}\cos (4\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $\mathrm{0,754}\text{ m/s}$ y está desfasado un cuarto de longitud de onda respecto del origen.