Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2026

Considere los puntos $A = (0, 0, 4)$, $B = (-3, 0, 0)$ y $C = (0, -2, 0)$. [2,5 puntos]

a) Halle la ecuación general o implícita del plano que contiene a $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

b) Calcule la distancia entre el punto $P = (1, 1, 1)$ y la recta que contiene a $A$ y $B$. [1 punto]

c) Calcule el volumen del tetraedro formado por los vértices $A$, $B$, $C$ y $D = (0, 0, 0)$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle la ecuación general o implícita del plano que contiene a }\boldsymbol{A}\textbf{, }\boldsymbol{B}\textbf{ y }\boldsymbol{C}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Tres puntos no alineados determinan un plano. Tomamos $A$ como punto de paso y los dos vectores que salen de él como directores; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AB}=(-3,0,-4),\qquad \overrightarrow{AC}=(0,-2,-4)$

$\vec n_{\pi}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ -3&0&-4\\ 0&-2&-4\end{vmatrix}=(-8,-12,6)$

Dividimos entre $-2$, que no cambia la dirección, y escribimos la ecuación general imponiendo que pase por $A(0,0,4)$.

$\vec n_{\pi}=(4,6,-3)\Rightarrow \pi:4x+6y-3z+D=0$

$4\cdot0+6\cdot0-3\cdot4+D=0\Rightarrow D=12$

El plano que contiene a los tres puntos es $\pi:4x+6y-3z+12=0$. Se comprueba con $B$ y $C$: $-12+12=0$ en ambos casos.

$\textbf{b) Calcule la distancia entre el punto }\boldsymbol{P = (1, 1, 1)}\textbf{ y la recta que contiene a }\boldsymbol{A}\textbf{ y }\boldsymbol{B}\textbf{. [1 punto]}$

La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular. Con el punto de paso $A$ y el director $\overrightarrow{AB}$ se obtiene con la fórmula del producto vectorial.



$\overrightarrow{AP}=(1,1,1)-(0,0,4)=(1,1,-3)$

$\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&1&-3\\ -3&0&-4\end{vmatrix}=(-4,13,3)$

$\left|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{16+169+9}=\sqrt{194}$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5$

$d(P,r_{AB})=\dfrac{\left|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\dfrac{\sqrt{194}}{5}\approx2{,}786\ \text{u}$

La distancia del punto a la recta que pasa por $A$ y $B$ es $\frac{\sqrt{194}}{5}$ unidades, unas $2{,}786$.

$\textbf{c) Calcule el volumen del tetraedro formado por los vértices }\boldsymbol{A}\textbf{, }\boldsymbol{B}\textbf{, }\boldsymbol{C}\textbf{ y }\boldsymbol{D = (0, 0, 0)}\textbf{. [1 punto]}$

El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que concurren en uno de sus vértices. Elegimos $D$, que es el origen, porque así los tres vectores son los propios puntos.

$\overrightarrow{DA}=(0,0,4),\qquad \overrightarrow{DB}=(-3,0,0),\qquad \overrightarrow{DC}=(0,-2,0)$



$\left[\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right]=\begin{vmatrix}0&0&4\\ -3&0&0\\ 0&-2&0\end{vmatrix}=4\cdot\begin{vmatrix}-3&0\\ 0&-2\end{vmatrix}=4\cdot6=24$

$V=\dfrac16\left|\left[\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right]\right|=\dfrac{24}{6}=4$

El volumen del tetraedro es de $4\ \text{u}^3$. El resultado era previsible: los tres vectores llevan la dirección de los ejes coordenados, de modo que el tetraedro es la sexta parte del ortoedro de aristas $3$, $2$ y $4$.