Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Considere la matriz presentada a continuación,

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Estudie el rango de $A$ en función del valor del parámetro $a$. [0,5 puntos]

b) Calcule $A^{100}$ en función del parámetro $a$. [1 punto]

c) Para $a = -1$, calcule, si es posible, la matriz $X$ que cumple: $AXA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie el rango de }\boldsymbol{A}\textbf{ en función del valor del parámetro }\boldsymbol{a}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El rango de una matriz cuadrada de orden tres vale tres si su determinante no se anula, así que empezamos por ahí. La matriz es triangular superior, de modo que el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

$|A|=\begin{vmatrix}1&a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot a=a$

$a=0\Rightarrow |A|=0$

Si $a\neq0$, entonces $|A|\neq0$ y $\operatorname{ran}(A)=3$. Para $a=0$ la matriz queda

$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&0\\ 0&1\end{vmatrix}=1\neq0$

y como el determinante de orden tres es nulo pero hay un menor de orden dos que no lo es, el rango baja a dos.

El rango de $A$ es $3$ para todo $a\neq0$ y es $2$ para $a=0$.

$\textbf{b) Calcule }\boldsymbol{A^{100}}\textbf{ en función del parámetro }\boldsymbol{a}\textbf{. [1 punto]}$

Calcular cien productos no es viable, así que multiplicamos las primeras potencias y buscamos el patrón que se repite.

$A^{2}=\begin{pmatrix}1&a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a^{2}\end{pmatrix}$

$A^{3}=A^{2}A=\begin{pmatrix}1&3a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a^{3}\end{pmatrix}$

La ley es clara: en cada producto el elemento de la primera fila y segunda columna aumenta en $a$ y el de la esquina se multiplica por $a$.

$A^{n}=\begin{pmatrix}1&na&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a^{n}\end{pmatrix}$

Lo comprobamos por inducción: suponiendo cierta la fórmula para $n$,

$A^{n+1}=A^{n}A=\begin{pmatrix}1&na&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&(n+1)a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a^{n+1}\end{pmatrix}$

que es la misma expresión con $n+1$. Haciendo $n=100$:

$A^{100}=\begin{pmatrix}1&100a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&a^{100}\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Para }\boldsymbol{a = -1}\textbf{, calcule, si es posible, la matriz }\boldsymbol{X}\textbf{ que cumple: }\boldsymbol{AXA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}}\textbf{. [1 punto]}$

Como $-1\neq0$, por el apartado a) el rango es tres y existe $A^{-1}$. Llamamos $C$ a la matriz del segundo miembro y despejamos $X$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda y por $A$ por la derecha.

$AXA^{-1}=C\Rightarrow A^{-1}AXA^{-1}A=A^{-1}CA\Rightarrow X=A^{-1}CA$

Sustituimos $a=-1$ y calculamos la inversa; al ser triangular basta con la adjunta de la traspuesta.

$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix},\qquad |A|=-1$

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$

Comprobamos que $AA^{-1}=I$ y hacemos los dos productos en el orden correcto.

$A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2&2\\ 0&0&-1\\ 0&-2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2&1\\ 0&0&-1\\ 0&2&2\end{pmatrix}$

$X=\left(A^{-1}C\right)A=\begin{pmatrix}2&2&1\\ 0&0&-1\\ 0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&-1\\ 0&0&1\\ 0&2&-2\end{pmatrix}$

Sí es posible: la matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}2&0&-1\\ 0&0&1\\ 0&2&-2\end{pmatrix}$.