Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Considere las matrices:

$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & a \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. [2,5 puntos]

a) Estudie el rango de $AB$, en función de los valores de $a$. [0,75 puntos]

b) Estudie el rango de $BA$, en función de los valores de $a$. [0,75 puntos]

c) Considere $a = 1$. Calcule, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $BAX = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$. [1 punto]

Antes de nada conviene fijar los tamaños, porque el rango de un producto no puede pasar del rango de sus factores. La matriz $A$ es de $3\times2$ y la $B$ de $2\times3$, así que $AB$ es de $3\times3$ y $BA$ de $2\times2$; en ambos casos el rango será como mucho $2$.

$\begin{vmatrix}-1&1\\ 1&2\end{vmatrix}=-2-1=-3\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=2\ \text{para todo }a$

$\begin{vmatrix}1&0\\ 3&2\end{vmatrix}=2\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(B)=2\ \text{para todo }a$

$\textbf{a) Estudie el rango de }\boldsymbol{AB}\textbf{, en función de los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Multiplicamos las dos matrices en ese orden.

$AB=\begin{pmatrix}-1&1\\ 1&2\\ 1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a&0\\ 3&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-a&2\\ 7&a&4\\ 3a+1&a&2a\end{pmatrix}$

El rango no puede ser $3$, porque no pasa del rango de los factores; comprobado queda que $|AB|=0$ sea cual sea $a$. Buscamos entonces un menor de orden dos no nulo.

$\begin{vmatrix}2&-a\\ 7&a\end{vmatrix}=2a+7a=9a$

Ese menor sirve siempre que $a\neq0$. Para $a=0$ probamos con otras dos columnas de las dos primeras filas:

$\begin{vmatrix}2&2\\ 7&4\end{vmatrix}=8-14=-6\neq0$

En ambos casos hay un menor de orden dos distinto de cero.

El rango de $AB$ vale $2$ para todo valor de $a$: el parámetro no influye. Era de esperar, porque $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(B)=2$ y las columnas de $A$ son independientes.

$\textbf{b) Estudie el rango de }\boldsymbol{BA}\textbf{, en función de los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Ahora el producto es de orden $2$ y su determinante sí depende del parámetro.

$BA=\begin{pmatrix}1&a&0\\ 3&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\ 1&2\\ 1&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-1&2a+1\\ -1&2a+3\end{pmatrix}$

$|BA|=(a-1)(2a+3)+(2a+1)=2a^2+a-3+2a+1=2a^2+3a-2$

$2a^2+3a-2=0\Rightarrow a=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\dfrac{-3\pm5}{4}\Rightarrow a=\dfrac12,\quad a=-2$

Para esos dos valores el determinante se anula, pero la matriz no es nula, así que le queda rango $1$:

$a=\dfrac12\Rightarrow BA=\begin{pmatrix}-\frac12&2\\ -1&4\end{pmatrix},\qquad a=-2\Rightarrow BA=\begin{pmatrix}-3&-3\\ -1&-1\end{pmatrix}$

En las dos la segunda fila es proporcional a la primera y ninguna es la matriz nula.

El rango de $BA$ es $2$ si $a\neq\frac12$ y $a\neq-2$, y es $1$ para $a=\frac12$ y para $a=-2$.

$\textbf{c) Considere }\boldsymbol{a = 1}\textbf{. Calcule, si es posible, la matriz }\boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la siguiente ecuación matricial: }\boldsymbol{BAX = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}}\textbf{. [1 punto]}$

Como $1$ no es ninguno de los dos valores del apartado anterior, $BA$ tiene rango $2$ y existe su inversa. Sustituimos.

$BA=\begin{pmatrix}0&3\\ -1&5\end{pmatrix},\qquad |BA|=0\cdot5-3\cdot(-1)=3\neq0$

$(BA)^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}5&-3\\ 1&0\end{pmatrix}$

La matriz $BA$ multiplica a $X$ por la izquierda, así que por la izquierda multiplicamos también por su inversa.

$X=(BA)^{-1}\begin{pmatrix}3\\ 7\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}5&-3\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\ 7\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-6\\ 3\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$

Sí es posible: la matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$. La comprobación es inmediata: $\begin{pmatrix}0&3\\ -1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 7\end{pmatrix}$.