Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Considere las matrices:

$A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+3 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$; y $B = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 0 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$. [2,5 puntos]

a) Halle los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Considere $a = -3$. Calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$. [1 punto]

c) Considere $a = -3$. Halle, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $AX = B$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Halle los valores del parámetro }\boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales la matriz }\boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que calculamos $|A|$ por la regla de Sarrus y descartamos los valores del parámetro que lo anulan.

$|A|=\begin{vmatrix}a+1&1&1\\ 1&a+3&1\\ 1&1&a+1\end{vmatrix}=(a+1)^2(a+3)+1+1-(a+3)-(a+1)-(a+1)$

$|A|=a^3+5a^2+7a+3+2-a-3-2a-2=a^3+5a^2+4a$

Sacamos factor común y resolvemos la ecuación de segundo grado que queda.

$a^3+5a^2+4a=a(a^2+5a+4)=a(a+1)(a+4)$

$a(a+1)(a+4)=0\Rightarrow a=0,\quad a=-1,\quad a=-4$

La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $a$ salvo tres: $a=0$, $a=-1$ y $a=-4$.

$\textbf{b) Considere }\boldsymbol{a = -3}\textbf{. Calcule, si es posible, la matriz inversa de }\boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Como $-3$ no es ninguno de los tres valores del apartado anterior, la inversa existe. Sustituimos y calculamos el determinante.

$A=\begin{pmatrix}-2&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&-2\end{pmatrix}$

$|A|=\begin{vmatrix}-2&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&-2\end{vmatrix}=0+1+1-0+2+2=6\neq0$

La matriz $A$ es simétrica, de modo que $A^{t}=A$ y basta calcular la adjunta de la propia $A$.

$\operatorname{Adj}(A^{t})=\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-1&3&1\\ 3&3&3\\ 1&3&-1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(A^{t})}{|A|}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-1&3&1\\ 3&3&3\\ 1&3&-1\end{pmatrix}$

La inversa de $A$ para $a=-3$ es $A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-1&3&1\\ 3&3&3\\ 1&3&-1\end{pmatrix}$.

$\textbf{c) Considere }\boldsymbol{a = -3}\textbf{. Halle, si es posible, la matriz }\boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la siguiente ecuación matricial: }\boldsymbol{AX = B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

En la ecuación $AX=B$ la matriz $A$ multiplica a $X$ por la izquierda, así que por la izquierda multiplicamos también por $A^{-1}$, que existe por el apartado anterior.

$AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

$X=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-1&3&1\\ 3&3&3\\ 1&3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-3\\ 2&0\\ 5&3\end{pmatrix}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}12&6\\ 18&0\\ 0&-6\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}2&1\\ 3&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$

Sí es posible: la solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}2&1\\ 3&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$, una matriz de $3\times2$, que es el único tamaño con el que el producto $AX$ puede dar $B$.