Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere la ecuación matricial $AX - X = B$, siendo $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$, en donde $a$ es un parámetro real.

a) Despeje la matriz $X$ de la ecuación anterior. [1 punto]

b) Halle los valores de $a$ para los que no es posible calcular $X$. [0,5 puntos]

c) Calcule $X$ para $a = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Despeje la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ de la ecuación anterior. [1 punto]}$

En los dos sumandos del primer miembro la incógnita multiplica por la derecha, así que la sacamos factor común por ese lado, usando que $X=IX$.

$AX-X=B\Rightarrow AX-IX=B\Rightarrow (A-I)X=B$

Multiplicamos ahora por la izquierda por la inversa de ese paréntesis:

$X=(A-I)^{-1}B$

$\textbf{b) Halle los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los que no es posible calcular } \boldsymbol{X}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El despeje anterior exige que $A-I$ tenga inversa, es decir, que su determinante no se anule.

$A-I=\begin{pmatrix}2&-1\\ 1&a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&a-1\end{pmatrix}$

$|A-I|=(a-1)+1=a$

No es posible calcular $X$ por este procedimiento cuando $a=0$.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{X}\textbf{ para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Con $a=1$ se cumple $a\neq0$, así que el despeje es aplicable.

$A-I=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&0\end{pmatrix},\qquad |A-I|=1$

$(A-I)^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}0&1\\ -1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\ -6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6&3\\ -9&3\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida, con $A=\begin{pmatrix}2&-1\\ 1&1\end{pmatrix}$:

$AX-X=\begin{pmatrix}-3&3\\ -15&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-6&3\\ -9&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\ -6&3\end{pmatrix}=B\quad\checkmark$