Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere la ecuación $AXA^t = B$ en donde $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, y $A^t$ denota traspuesta de $A$.

a) Despeje la matriz $X$ en la igualdad dada. [0,5 puntos]

b) Compruebe que $A$ es invertible y calcule su inversa. [0,5 puntos]

c) Compruebe que $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$. [0,5 puntos]

d) Calcule $X$. [1 punto]

$\textbf{a) Despeje la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ en la igualdad dada. [0,5 puntos]}$

En el primer miembro la incógnita está multiplicada por $A$ por la izquierda y por $A^{t}$ por la derecha, así que hay que despejar cada una por su lado.

$AXA^{t}=B\Rightarrow A^{-1}AXA^{t}(A^{t})^{-1}=A^{-1}B(A^{t})^{-1}$

$X=A^{-1}B\,(A^{t})^{-1}$

$\textbf{b) Compruebe que } \boldsymbol{A}\textbf{ es invertible y calcule su inversa. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no se anula.

$|A|=\begin{vmatrix}-2&0\\ 1&1\end{vmatrix}=-2\neq0$

Para una matriz de orden dos basta intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la secundaria y dividir por el determinante.

$A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}1&0\\ -1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12&0\\ \frac12&1\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Compruebe que } \boldsymbol{(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Calculamos los dos miembros por separado. El primero es trasponer la matriz del apartado anterior:

$(A^{-1})^{t}=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac12\\ 0&1\end{pmatrix}$

Para el segundo trasponemos primero y luego invertimos. Como $|A^{t}|=|A|=-2$:

$A^{t}=\begin{pmatrix}-2&1\\ 0&1\end{pmatrix}\Rightarrow (A^{t})^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac12\\ 0&1\end{pmatrix}$

Las dos matrices coinciden término a término, luego $(A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}$: trasponer e invertir se pueden hacer en cualquier orden.

$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{X}\textbf{. [1 punto]}$

Sustituimos en el despeje del apartado a), aprovechando la igualdad recién probada.

$A^{-1}B=\begin{pmatrix}-\frac12&0\\ \frac12&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\ -1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\ -1&3\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}0&-1\\ -1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac12&\frac12\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\ \frac12&\frac52\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$AXA^{t}=\begin{pmatrix}-2&0\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\ \frac12&\frac52\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\ -1&2\end{pmatrix}=B\quad\checkmark$