Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere la ecuación matricial $XA - 2X = A$, en donde $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & -2 \end{pmatrix}$, siendo $a$ una constante real.

a) Estudie el rango de $A$ en función del parámetro $a$. [0,5 puntos]

b) Indique para qué valores se puede calcular la inversa de $A$. [0,25 puntos]

c) Despeje $X$ de la ecuación matricial. [0,75 puntos]

d) Calcule $X$ para $a = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ en función del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La matriz es cuadrada de orden dos, así que su rango es $2$ salvo que el determinante se anule.

$|A|=\begin{vmatrix}2&-1\\ a&-2\end{vmatrix}=-4+a=a-4$

$a-4=0\Rightarrow a=4$

Si $a\neq4$, $\operatorname{ran}(A)=2$. Si $a=4$ la matriz queda

$A=\begin{pmatrix}2&-1\\ 4&-2\end{pmatrix}$

con la segunda fila igual al doble de la primera y sin ser la matriz nula, luego $\operatorname{ran}(A)=1$.

$\textbf{b) Indique para qué valores se puede calcular la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [0,25 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$a-4\neq0\Rightarrow a\neq4$

$\textbf{c) Despeje } \boldsymbol{X}\textbf{ de la ecuación matricial. [0,75 puntos]}$

En los dos sumandos del primer miembro la incógnita multiplica por la izquierda, así que la sacamos factor común por ese lado, usando que $2X=X\cdot2I$.

$XA-2X=A\Rightarrow XA-X(2I)=A\Rightarrow X(A-2I)=A$

Ahora multiplicamos por la derecha por la inversa de ese paréntesis:

$X=A\,(A-2I)^{-1}$

lo que exige que $A-2I$ sea regular. Su determinante es

$|A-2I|=\begin{vmatrix}0&-1\\ a&-4\end{vmatrix}=0+a=a$

de modo que el despeje vale siempre que $a\neq0$.

$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{X}\textbf{ para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{. [1 punto]}$

Con $a=2$ se cumple $a\neq0$, así que el despeje anterior es aplicable.

$A=\begin{pmatrix}2&-1\\ 2&-2\end{pmatrix},\qquad A-2I=\begin{pmatrix}0&-1\\ 2&-4\end{pmatrix},\qquad |A-2I|=2$

$(A-2I)^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}-4&1\\ -2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&\frac12\\ -1&0\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}2&-1\\ 2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&\frac12\\ -1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&1\\ -2&1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$XA-2X=\begin{pmatrix}-4&1\\ -2&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-6&2\\ -4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\ 2&-2\end{pmatrix}=A\quad\checkmark$