Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere el vector $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v \in \mathbb{R}^2$, y la matriz de rotación $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$.

a) Compruebe para $\theta = \frac{\pi}{2}$ que $R(\theta) \cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $\theta$ en sentido antihorario. [0,5 puntos]

b) Compruebe para $\theta = \frac{\pi}{2}$ que $R^2(\theta) \cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $2\theta$ en sentido antihorario. [0,5 puntos]

c) Compruebe que la matriz $R(\theta)$ es invertible para cualquier valor de $\theta$. [0,5 puntos]

d) Calcule la matriz inversa de $R(\theta)$ y compruebe que $R^{-1}(\theta) = R(-\theta)$. [1 punto]

$\textbf{a) Compruebe para } \boldsymbol{\theta = \frac{\pi}{2}}\textbf{ que } \boldsymbol{R(\theta) \cdot v}\textbf{ rota el vector } \boldsymbol{v}\textbf{ un ángulo } \boldsymbol{\theta}\textbf{ en sentido antihorario. [0,5 puntos]}$

Particularizamos la matriz de rotación en $\theta=\frac{\pi}{2}$, donde el coseno vale $0$ y el seno vale $1$.

$R\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$

$R\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot v=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$

El vector de partida $(1,0)$ apunta en el sentido positivo del eje de abscisas y el resultado $(0,1)$ apunta en el sentido positivo del de ordenadas: el vector ha girado $90^\circ$ en sentido antihorario, que es justo $\theta$.



$\textbf{b) Compruebe para } \boldsymbol{\theta = \frac{\pi}{2}}\textbf{ que } \boldsymbol{R^2(\theta) \cdot v}\textbf{ rota el vector } \boldsymbol{v}\textbf{ un ángulo } \boldsymbol{2\theta}\textbf{ en sentido antihorario. [0,5 puntos]}$

Elevamos al cuadrado la matriz anterior y volvemos a multiplicar por el vector.

$R^2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$

$R^2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot v=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 0\end{pmatrix}$

El resultado apunta en el sentido negativo del eje de abscisas, es decir, ha girado $180^\circ=2\theta$ en sentido antihorario. Era de esperar: aplicar dos veces el mismo giro equivale a girar el doble del ángulo.

$\textbf{c) Compruebe que la matriz } \boldsymbol{R(\theta)}\textbf{ es invertible para cualquier valor de } \boldsymbol{\theta}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no se anula.

$|R(\theta)|=\begin{vmatrix}\cos\theta&-\operatorname{sen}\theta\\ \operatorname{sen}\theta&\cos\theta\end{vmatrix}=\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1$

Por la relación fundamental de la trigonometría el determinante vale $1$ sea cual sea el ángulo, luego $|R(\theta)|\neq0$ y la matriz es invertible para todo $\theta$. Tiene sentido geométrico: todo giro se puede deshacer.

$\textbf{d) Calcule la matriz inversa de } \boldsymbol{R(\theta)}\textbf{ y compruebe que } \boldsymbol{R^{-1}(\theta) = R(-\theta)}\textbf{. [1 punto]}$

Para una matriz de orden dos basta intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la secundaria y dividir por el determinante, que aquí vale $1$.

$R^{-1}(\theta)=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}\cos\theta&\operatorname{sen}\theta\\ -\operatorname{sen}\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$

Escribimos ahora $R(-\theta)$ usando que el coseno es par y el seno impar:

$\cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta$

$R(-\theta)=\begin{pmatrix}\cos(-\theta)&-\operatorname{sen}(-\theta)\\ \operatorname{sen}(-\theta)&\cos(-\theta)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\operatorname{sen}\theta\\ -\operatorname{sen}\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$

Las dos matrices coinciden término a término, luego $R^{-1}(\theta)=R(-\theta)$: deshacer un giro de ángulo $\theta$ es girar $-\theta$.