Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calcule $A^2$ y compruebe que es regular. [0,5 puntos]

b) Calcule la matriz inversa de $A^2$. [0,5 puntos]

c) Despeje $X$ en la ecuación matricial $A^2 X + B = C$. [1 punto]

d) Calcule la matriz $X$ de orden $2 \times 2$, que verifica $A^2 X + B = C$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{A^2}\textbf{ y compruebe que es regular. [0,5 puntos]}$

Multiplicamos la matriz por sí misma.

$A^2=\begin{pmatrix}1&0\\ -1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ -1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ -3&4\end{pmatrix}$

Una matriz es regular cuando su determinante no se anula:

$|A^2|=\begin{vmatrix}1&0\\ -3&4\end{vmatrix}=4\neq0$

$A^2$ es regular y, por tanto, tiene inversa.

$\textbf{b) Calcule la matriz inversa de } \boldsymbol{A^2}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para una matriz de orden dos basta intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la secundaria y dividir por el determinante.

$(A^2)^{-1}=\dfrac14\begin{pmatrix}4&0\\ 3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ \frac34&\frac14\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Despeje } \boldsymbol{X}\textbf{ en la ecuación matricial } \boldsymbol{A^2 X + B = C}\textbf{. [1 punto]}$

Pasamos $B$ al otro miembro y multiplicamos por la inversa por la izquierda, que es el lado por el que $A^2$ multiplica a $X$.

$A^2X=C-B$

$(A^2)^{-1}A^2X=(A^2)^{-1}(C-B)\Rightarrow X=(A^2)^{-1}(C-B)$

$\textbf{d) Calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ de orden } \boldsymbol{2 \times 2}\textbf{, que verifica } \boldsymbol{A^2 X + B = C}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Resolvemos primero la resta.

$C-B=\begin{pmatrix}2&2\\ 0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\ 2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\ -2&0\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}1&0\\ \frac34&\frac14\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\ -2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\ -\frac12&\frac32\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A^2X+B=\begin{pmatrix}1&0\\ -3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\ -\frac12&\frac32\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\ 2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\ -2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\ 2&1\end{pmatrix}=C$